Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28690 / 12306
↖ ↑ ↗
← N 40.830437°
E135.197754°		 ← 924.30 m → N 40.830437°
E135.208740°		 →
↑
924.43 m
↓
↑
924.43 m
↓
N 40.822123°
E135.197754°		 ← 924.42 m →
854 508 m²		 N 40.822123°
E135.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875564575195312 y=0.375564575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875564575195312 × 215)
    floor (0.875564575195312 × 32768)
    floor (28690.5)     		tx = 28690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375564575195312 × 215)
    floor (0.375564575195312 × 32768)
    floor (12306.5)     		ty = 12306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28690 / 12306 ti = "15/28690/12306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28690/12306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28690 ÷ 215
    28690 ÷ 32768     		x = 0.87554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12306 ÷ 215
    12306 ÷ 32768     		y = 0.37554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87554931640625 × 2 - 1) × π
    0.7510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35964595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    0.2489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.781946706602356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35964595} λ = 2.35964595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.781946706602356))-π/2
    2×atan(2.18572308817015)-π/2
    2×1.14171094266034-π/2
    2.28342188532068-1.57079632675     		φ = 0.71262556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35964595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71262556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.830437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28690 KachelY 12306 2.35964595 0.71262556 135.197754 40.830437
    Oben rechts KachelX + 1 28691 KachelY 12306 2.35983769 0.71262556 135.208740 40.830437
    Unten links KachelX 28690 KachelY + 1 12307 2.35964595 0.71248046 135.197754 40.822123
    Unten rechts KachelX + 1 28691 KachelY + 1 12307 2.35983769 0.71248046 135.208740 40.822123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71262556-0.71248046) × R
    0.000145100000000009 × 6371000     		dl = 924.432100000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71262556-0.71248046) × R
    0.000145100000000009 × 6371000     		dr = 924.432100000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35964595-2.35983769) × cos(0.71262556) × R
    0.000191739999999996 × 0.756647835373912 × 6371000     		do = 924.302488086697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35964595-2.35983769) × cos(0.71248046) × R
    0.000191739999999996 × 0.756742697074367 × 6371000     		du = 924.418368819656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71262556)-sin(0.71248046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756647835373912-0.756742697074367)×R²
    abs(2.35983769-2.35964595)×9.486170045514e-05×R²
    0.000191739999999996×9.486170045514e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.486170045514e-05×40589641000000     		ar = 854508.453531154m²