Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28704 / 12320
↖ ↑ ↗
← N 40.713956°
E135.351562°		 ← 925.97 m → N 40.713956°
E135.362549°		 →
↑
926.02 m
↓
↑
926.02 m
↓
N 40.705628°
E135.351562°		 ← 926.09 m →
857 527 m²		 N 40.705628°
E135.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875991821289062 y=0.375991821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875991821289062 × 215)
    floor (0.875991821289062 × 32768)
    floor (28704.5)     		tx = 28704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375991821289062 × 215)
    floor (0.375991821289062 × 32768)
    floor (12320.5)     		ty = 12320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28704 / 12320 ti = "15/28704/12320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28704/12320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28704 ÷ 215
    28704 ÷ 32768     		x = 0.8759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12320 ÷ 215
    12320 ÷ 32768     		y = 0.3759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8759765625 × 2 - 1) × π
    0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36233041} λ = 2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779262240223633))-π/2
    2×atan(2.1798634565377)-π/2
    2×1.14069445372912-π/2
    2.28138890745823-1.57079632675     		φ = 0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28704 KachelY 12320 2.36233041 0.71059258 135.351562 40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 28705 KachelY 12320 2.36252216 0.71059258 135.362549 40.713956
    Unten links KachelX 28704 KachelY + 1 12321 2.36233041 0.71044723 135.351562 40.705628
    Unten rechts KachelX + 1 28705 KachelY + 1 12321 2.36252216 0.71044723 135.362549 40.705628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71059258-0.71044723) × R
    0.000145350000000044 × 6371000     		dl = 926.024850000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71059258-0.71044723) × R
    0.000145350000000044 × 6371000     		dr = 926.024850000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36233041-2.36252216) × cos(0.71059258) × R
    0.000191749999999935 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 925.972595936882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36233041-2.36252216) × cos(0.71044723) × R
    0.000191749999999935 × 0.758070280541062 × 6371000     		du = 926.088408967159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71059258)-sin(0.71044723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.758070280541062)×R²
    abs(2.36252216-2.36233041)×9.48013337628284e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48013337628284e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48013337628284e-05×40589641000000     		ar = 857527.258638092m²