Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28737 / 12353
↖ ↑ ↗
← N 40.438586°
E135.714111°		 ← 929.79 m → N 40.438586°
E135.725098°		 →
↑
929.85 m
↓
↑
929.85 m
↓
N 40.430224°
E135.714111°		 ← 929.91 m →
864 618 m²		 N 40.430224°
E135.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.876998901367188 y=0.376998901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.876998901367188 × 215)
    floor (0.876998901367188 × 32768)
    floor (28737.5)     		tx = 28737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376998901367188 × 215)
    floor (0.376998901367188 × 32768)
    floor (12353.5)     		ty = 12353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28737 / 12353 ti = "15/28737/12353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28737/12353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28737 ÷ 215
    28737 ÷ 32768     		x = 0.876983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12353 ÷ 215
    12353 ÷ 32768     		y = 0.376983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876983642578125 × 2 - 1) × π
    0.75396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36865808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376983642578125 × 2 - 1) × π
    0.24603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.772934569473785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36865808} λ = 2.36865808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.772934569473785))-π/2
    2×atan(2.16611354663462)-π/2
    2×1.13829139750422-π/2
    2.27658279500843-1.57079632675     		φ = 0.70578647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36865808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70578647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.438586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28737 KachelY 12353 2.36865808 0.70578647 135.714111 40.438586
    Oben rechts KachelX + 1 28738 KachelY 12353 2.36884983 0.70578647 135.725098 40.438586
    Unten links KachelX 28737 KachelY + 1 12354 2.36865808 0.70564052 135.714111 40.430224
    Unten rechts KachelX + 1 28738 KachelY + 1 12354 2.36884983 0.70564052 135.725098 40.430224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70578647-0.70564052) × R
    0.000145950000000061 × 6371000     		dl = 929.847450000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70578647-0.70564052) × R
    0.000145950000000061 × 6371000     		dr = 929.847450000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36865808-2.36884983) × cos(0.70578647) × R
    0.000191749999999935 × 0.761101657106976 × 6371000     		do = 929.791657561608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36865808-2.36884983) × cos(0.70564052) × R
    0.000191749999999935 × 0.761196316930342 × 6371000     		du = 929.90729771723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70578647)-sin(0.70564052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761101657106976-0.761196316930342)×R²
    abs(2.36884983-2.36865808)×9.46598233664275e-05×R²
    0.000191749999999935×9.46598233664275e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.46598233664275e-05×40589641000000     		ar = 864618.167202096m²