Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28768 / 12256
↖ ↑ ↗
← N 41.244773°
E136.054688°		 ← 918.55 m → N 41.244773°
E136.065674°		 →
↑
918.63 m
↓
↑
918.63 m
↓
N 41.236511°
E136.054688°		 ← 918.67 m →
843 866 m²		 N 41.236511°
E136.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877944946289062 y=0.374038696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877944946289062 × 215)
    floor (0.877944946289062 × 32768)
    floor (28768.5)     		tx = 28768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374038696289062 × 215)
    floor (0.374038696289062 × 32768)
    floor (12256.5)     		ty = 12256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28768 / 12256 ti = "15/28768/12256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28768/12256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28768 ÷ 215
    28768 ÷ 32768     		x = 0.8779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12256 ÷ 215
    12256 ÷ 32768     		y = 0.3740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8779296875 × 2 - 1) × π
    0.755859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.37460226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37460226} λ = 2.37460226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.791534086526367))-π/2
    2×atan(2.20677922111228)-π/2
    2×1.14532670170008-π/2
    2.29065340340016-1.57079632675     		φ = 0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37460226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28768 KachelY 12256 2.37460226 0.71985708 136.054688 41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 28769 KachelY 12256 2.37479401 0.71985708 136.065674 41.244773
    Unten links KachelX 28768 KachelY + 1 12257 2.37460226 0.71971289 136.054688 41.236511
    Unten rechts KachelX + 1 28769 KachelY + 1 12257 2.37479401 0.71971289 136.065674 41.236511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71985708-0.71971289) × R
    0.000144189999999988 × 6371000     		dl = 918.634489999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71985708-0.71971289) × R
    0.000144189999999988 × 6371000     		dr = 918.634489999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37460226-2.37479401) × cos(0.71985708) × R
    0.000191749999999935 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 918.550504088275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37460226-2.37479401) × cos(0.71971289) × R
    0.000191749999999935 × 0.751995014084982 × 6371000     		du = 918.666625010205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71985708)-sin(0.71971289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.751995014084982)×R²
    abs(2.37479401-2.37460226)×9.50533653288899e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50533653288899e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50533653288899e-05×40589641000000     		ar = 843865.511665924m²