Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 288 / 32
↖ ↑ ↗
← N 82.676285°
E 22.500000°		 ← 9 966.51 m → N 82.676285°
E 23.203125°		 →
↑
10.027 km
↓
↑
10.027 km
↓
N 82.586106°
E 22.500000°		 ← 10.089 km →
100.551 km²		 N 82.586106°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5634765625 y=0.0634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5634765625 × 29)
    floor (0.5634765625 × 512)
    floor (288.5)     		tx = 288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0634765625 × 29)
    floor (0.0634765625 × 512)
    floor (32.5)     		ty = 32
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 288 / 32 ti = "9/288/32"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/288/32.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 288 ÷ 29
    288 ÷ 512     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32 ÷ 29
    32 ÷ 512     		y = 0.0625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0625 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7488935718125))-π/2
    2×atan(15.6253340065392)-π/2
    2×1.5068848564871-π/2
    3.0137697129742-1.57079632675     		φ = 1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 288 KachelY 32 0.39269908 1.44297339 22.500000 82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 289 KachelY 32 0.40497093 1.44297339 23.203125 82.676285
    Unten links KachelX 288 KachelY + 1 33 0.39269908 1.44139947 22.500000 82.586106
    Unten rechts KachelX + 1 289 KachelY + 1 33 0.40497093 1.44139947 23.203125 82.586106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44297339-1.44139947) × R
    0.00157392000000001 × 6371000     		dl = 10027.44432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44297339-1.44139947) × R
    0.00157392000000001 × 6371000     		dr = 10027.44432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.40497093) × cos(1.44297339) × R
    0.01227185 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 9966.5111101077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.40497093) × cos(1.44139947) × R
    0.01227185 × 0.129036065258056 × 6371000     		du = 10088.5500937116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44297339)-sin(1.44139947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.129036065258056)×R²
    abs(0.40497093-0.39269908)×0.00156092105466782×R²
    0.01227185×0.00156092105466782×6371000²
    0.01227185×0.00156092105466782×40589641000000     		ar = 100550525.534926m²