Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 288 / 353
↖ ↑ ↗
← S 56.170023°
E 22.500000°		 ← 43.527 km → S 56.170023°
E 23.203125°		 →
↑
43.306 km
↓
↑
43.306 km
↓
S 56.559482°
E 22.500000°		 ← 43.085 km →
1 875.42 km²		 S 56.559482°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5634765625 y=0.6904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5634765625 × 29)
    floor (0.5634765625 × 512)
    floor (288.5)     		tx = 288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6904296875 × 29)
    floor (0.6904296875 × 512)
    floor (353.5)     		ty = 353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 288 / 353 ti = "9/288/353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/288/353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 288 ÷ 29
    288 ÷ 512     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 353 ÷ 29
    353 ÷ 512     		y = 0.689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689453125 × 2 - 1) × π
    -0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19036909136523))-π/2
    2×atan(0.304108999344261)-π/2
    2×0.295222242420394-π/2
    0.590444484840787-1.57079632675     		φ = -0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 288 KachelY 353 0.39269908 -0.98035184 22.500000 -56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 289 KachelY 353 0.40497093 -0.98035184 23.203125 -56.170023
    Unten links KachelX 288 KachelY + 1 354 0.39269908 -0.98714919 22.500000 -56.559482
    Unten rechts KachelX + 1 289 KachelY + 1 354 0.40497093 -0.98714919 23.203125 -56.559482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98035184--0.98714919) × R
    0.00679735000000004 × 6371000     		dl = 43305.9168500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98035184--0.98714919) × R
    0.00679735000000004 × 6371000     		dr = 43305.9168500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.40497093) × cos(-0.98035184) × R
    0.01227185 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 43527.3782635895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.40497093) × cos(-0.98714919) × R
    0.01227185 × 0.55107097894133 × 6371000     		du = 43084.9093633008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98035184)-sin(-0.98714919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.55107097894133)×R²
    abs(0.40497093-0.39269908)×0.0056593311587857×R²
    0.01227185×0.0056593311587857×6371000²
    0.01227185×0.0056593311587857×40589641000000     		ar = 1875419484.06977m²