Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2880 / 3904
↖ ↑ ↗
← S 83.359512°
E 73.125000°		 ← 1 130.14 m → S 83.359512°
E 73.212891°		 →
↑
1 129.26 m
↓
↑
1 129.26 m
↓
S 83.369667°
E 73.125000°		 ← 1 128.42 m →
1 275 249 m²		 S 83.369667°
E 73.212891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7032470703125 y=0.9532470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7032470703125 × 212)
    floor (0.7032470703125 × 4096)
    floor (2880.5)     		tx = 2880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9532470703125 × 212)
    floor (0.9532470703125 × 4096)
    floor (3904.5)     		ty = 3904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2880 / 3904 ti = "12/2880/3904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2880/3904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2880 ÷ 212
    2880 ÷ 4096     		x = 0.703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3904 ÷ 212
    3904 ÷ 4096     		y = 0.953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.703125 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Λ = 1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.953125 × 2 - 1) × π
    -0.90625 × 3.1415926535     		Φ = -2.84706834223438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.27627202} λ = 1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.84706834223438))-π/2
    2×atan(0.0580141494453179)-π/2
    2×0.057949195618051-π/2
    0.115898391236102-1.57079632675     		φ = -1.45489794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45489794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.359512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2880 KachelY 3904 1.27627202 -1.45489794 73.125000 -83.359512
    Oben rechts KachelX + 1 2881 KachelY 3904 1.27780600 -1.45489794 73.212891 -83.359512
    Unten links KachelX 2880 KachelY + 1 3905 1.27627202 -1.45507519 73.125000 -83.369667
    Unten rechts KachelX + 1 2881 KachelY + 1 3905 1.27780600 -1.45507519 73.212891 -83.369667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45489794--1.45507519) × R
    0.000177250000000129 × 6371000     		dl = 1129.25975000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45489794--1.45507519) × R
    0.000177250000000129 × 6371000     		dr = 1129.25975000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.27627202-1.27780600) × cos(-1.45489794) × R
    0.00153398000000005 × 0.115639094724005 × 6371000     		do = 1130.13932086109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.27627202-1.27780600) × cos(-1.45507519) × R
    0.00153398000000005 × 0.115463032026067 × 6371000     		du = 1128.4186624769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45489794)-sin(-1.45507519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.115639094724005-0.115463032026067)×R²
    abs(1.27780600-1.27627202)×0.000176062697938226×R²
    0.00153398000000005×0.000176062697938226×6371000²
    0.00153398000000005×0.000176062697938226×40589641000000     		ar = 1275249.31515023m²