Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2880 / 4928
↖ ↑ ↗
← S 34.307144°
W 53.437500°		 ← 4 036.38 m → S 34.307144°
W 53.393555°		 →
↑
4 035.52 m
↓
↑
4 035.52 m
↓
S 34.343436°
W 53.437500°		 ← 4 034.64 m →
16 285 368 m²		 S 34.343436°
W 53.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35162353515625 y=0.60162353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35162353515625 × 213)
    floor (0.35162353515625 × 8192)
    floor (2880.5)     		tx = 2880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60162353515625 × 213)
    floor (0.60162353515625 × 8192)
    floor (4928.5)     		ty = 4928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2880 / 4928 ti = "13/2880/4928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2880/4928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2880 ÷ 213
    2880 ÷ 8192     		x = 0.3515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4928 ÷ 213
    4928 ÷ 8192     		y = 0.6015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3515625 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6015625 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93266032} λ = -0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638136007742187))-π/2
    2×atan(0.52827620963859)-π/2
    2×0.486011854781196-π/2
    0.972023709562392-1.57079632675     		φ = -0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2880 KachelY 4928 -0.93266032 -0.59877262 -53.437500 -34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 2881 KachelY 4928 -0.93189333 -0.59877262 -53.393555 -34.307144
    Unten links KachelX 2880 KachelY + 1 4929 -0.93266032 -0.59940604 -53.437500 -34.343436
    Unten rechts KachelX + 1 2881 KachelY + 1 4929 -0.93189333 -0.59940604 -53.393555 -34.343436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59877262--0.59940604) × R
    0.000633419999999996 × 6371000     		dl = 4035.51881999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59877262--0.59940604) × R
    0.000633419999999996 × 6371000     		dr = 4035.51881999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93266032--0.93189333) × cos(-0.59877262) × R
    0.000766990000000023 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 4036.38039636673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93266032--0.93189333) × cos(-0.59940604) × R
    0.000766990000000023 × 0.825670844349012 × 6371000     		du = 4034.6350406602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59877262)-sin(-0.59940604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.825670844349012)×R²
    abs(-0.93189333--0.93266032)×0.000357179597504143×R²
    0.000766990000000023×0.000357179597504143×6371000²
    0.000766990000000023×0.000357179597504143×40589641000000     		ar = 16285367.8908212m²