Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28800 / 61568
↖ ↑ ↗
← S 82.765373°
W 21.796875°		 ← 76.93 m → S 82.765373°
W 21.791382°		 →
↑
76.90 m
↓
↑
76.90 m
↓
S 82.766064°
W 21.796875°		 ← 76.92 m →
5 915 m²		 S 82.766064°
W 21.791382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439460754394531 y=0.939460754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439460754394531 × 216)
    floor (0.439460754394531 × 65536)
    floor (28800.5)     		tx = 28800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.939460754394531 × 216)
    floor (0.939460754394531 × 65536)
    floor (61568.5)     		ty = 61568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28800 / 61568 ti = "16/28800/61568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28800/61568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28800 ÷ 216
    28800 ÷ 65536     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61568 ÷ 216
    61568 ÷ 65536     		y = 0.939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.939453125 × 2 - 1) × π
    -0.87890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.76116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76116541811523))-π/2
    2×atan(0.0632180499509773)-π/2
    2×0.0631340338832816-π/2
    0.126268067766563-1.57079632675     		φ = -1.44452826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44452826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.765373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28800 KachelY 61568 -0.38042724 -1.44452826 -21.796875 -82.765373
    Oben rechts KachelX + 1 28801 KachelY 61568 -0.38033136 -1.44452826 -21.791382 -82.765373
    Unten links KachelX 28800 KachelY + 1 61569 -0.38042724 -1.44454033 -21.796875 -82.766064
    Unten rechts KachelX + 1 28801 KachelY + 1 61569 -0.38033136 -1.44454033 -21.791382 -82.766064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44452826--1.44454033) × R
    1.20699999999196e-05 × 6371000     		dl = 76.8979699994881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44452826--1.44454033) × R
    1.20699999999196e-05 × 6371000     		dr = 76.8979699994881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.38033136) × cos(-1.44452826) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.125932805725766 × 6371000     		do = 76.9262407581305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.38033136) × cos(-1.44454033) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.125920831808595 × 6371000     		du = 76.9189264731052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44452826)-sin(-1.44454033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125932805725766-0.125920831808595)×R²
    abs(-0.38033136--0.38042724)×1.19739171709488e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.19739171709488e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.19739171709488e-05×40589641000000     		ar = 5915.19052711401m²