Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28802 / 4226
↖ ↑ ↗
← N 78.899700°
E136.428223°		 ← 235.20 m → N 78.899700°
E136.439209°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
N 78.897584°
E136.428223°		 ← 235.24 m →
55 328 m²		 N 78.897584°
E136.439209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878982543945312 y=0.128982543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878982543945312 × 215)
    floor (0.878982543945312 × 32768)
    floor (28802.5)     		tx = 28802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128982543945312 × 215)
    floor (0.128982543945312 × 32768)
    floor (4226.5)     		ty = 4226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28802 / 4226 ti = "15/28802/4226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28802/4226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28802 ÷ 215
    28802 ÷ 32768     		x = 0.87896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4226 ÷ 215
    4226 ÷ 32768     		y = 0.12896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87896728515625 × 2 - 1) × π
    0.7579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38112168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12896728515625 × 2 - 1) × π
    0.7420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33126730232257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38112168} λ = 2.38112168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33126730232257))-π/2
    2×atan(10.2909750491778)-π/2
    2×1.47392793402185-π/2
    2.9478558680437-1.57079632675     		φ = 1.37705954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38112168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37705954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.899700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28802 KachelY 4226 2.38112168 1.37705954 136.428223 78.899700
    Oben rechts KachelX + 1 28803 KachelY 4226 2.38131343 1.37705954 136.439209 78.899700
    Unten links KachelX 28802 KachelY + 1 4227 2.38112168 1.37702262 136.428223 78.897584
    Unten rechts KachelX + 1 28803 KachelY + 1 4227 2.38131343 1.37702262 136.439209 78.897584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37705954-1.37702262) × R
    3.69200000001069e-05 × 6371000     		dl = 235.217320000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37705954-1.37702262) × R
    3.69200000001069e-05 × 6371000     		dr = 235.217320000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38112168-2.38131343) × cos(1.37705954) × R
    0.000191749999999935 × 0.192527108323651 × 6371000     		do = 235.198672217094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38112168-2.38131343) × cos(1.37702262) × R
    0.000191749999999935 × 0.192563337480337 × 6371000     		du = 235.242931176897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37705954)-sin(1.37702262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192527108323651-0.192563337480337)×R²
    abs(2.38131343-2.38112168)×3.62291566862183e-05×R²
    0.000191749999999935×3.62291566862183e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.62291566862183e-05×40589641000000     		ar = 55328.0065891798m²