Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28816 / 12432
↖ ↑ ↗
← N 39.774770°
E136.582031°		 ← 938.91 m → N 39.774770°
E136.593017°		 →
↑
938.96 m
↓
↑
938.96 m
↓
N 39.766325°
E136.582031°		 ← 939.02 m →
881 651 m²		 N 39.766325°
E136.593017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.879409790039062 y=0.379409790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.879409790039062 × 215)
    floor (0.879409790039062 × 32768)
    floor (28816.5)     		tx = 28816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379409790039062 × 215)
    floor (0.379409790039062 × 32768)
    floor (12432.5)     		ty = 12432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28816 / 12432 ti = "15/28816/12432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28816/12432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28816 ÷ 215
    28816 ÷ 32768     		x = 0.87939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12432 ÷ 215
    12432 ÷ 32768     		y = 0.37939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87939453125 × 2 - 1) × π
    0.7587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.38380614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    0.2412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.757786509193848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38380614} λ = 2.38380614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757786509193848))-π/2
    2×atan(2.1335484001655)-π/2
    2×1.13249850675921-π/2
    2.26499701351843-1.57079632675     		φ = 0.69420069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38380614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69420069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.774770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28816 KachelY 12432 2.38380614 0.69420069 136.582031 39.774770
    Oben rechts KachelX + 1 28817 KachelY 12432 2.38399789 0.69420069 136.593017 39.774770
    Unten links KachelX 28816 KachelY + 1 12433 2.38380614 0.69405331 136.582031 39.766325
    Unten rechts KachelX + 1 28817 KachelY + 1 12433 2.38399789 0.69405331 136.593017 39.766325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69420069-0.69405331) × R
    0.000147379999999919 × 6371000     		dl = 938.957979999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69420069-0.69405331) × R
    0.000147379999999919 × 6371000     		dr = 938.957979999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38380614-2.38399789) × cos(0.69420069) × R
    0.000191749999999935 × 0.768565322869847 × 6371000     		do = 938.909564606409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38380614-2.38399789) × cos(0.69405331) × R
    0.000191749999999935 × 0.768659604019993 × 6371000     		du = 939.024742159963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69420069)-sin(0.69405331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768565322869847-0.768659604019993)×R²
    abs(2.38399789-2.38380614)×9.42811501466467e-05×R²
    0.000191749999999935×9.42811501466467e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.42811501466467e-05×40589641000000     		ar = 881650.703222063m²