Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 289 / 291
↖ ↑ ↗
← S 23.885838°
E 23.203125°		 ← 71.488 km → S 23.885838°
E 23.906250°		 →
↑
71.309 km
↓
↑
71.309 km
↓
S 24.527135°
E 23.203125°		 ← 71.129 km →
5 084.98 km²		 S 24.527135°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5654296875 y=0.5693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5654296875 × 29)
    floor (0.5654296875 × 512)
    floor (289.5)     		tx = 289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5693359375 × 29)
    floor (0.5693359375 × 512)
    floor (291.5)     		ty = 291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 289 / 291 ti = "9/289/291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/289/291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 289 ÷ 29
    289 ÷ 512     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 291 ÷ 29
    291 ÷ 512     		y = 0.568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568359375 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.429514620595703))-π/2
    2×atan(0.650824915080351)-π/2
    2×0.57695490717327-π/2
    1.15390981434654-1.57079632675     		φ = -0.41688651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41688651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.885838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 289 KachelY 291 0.40497093 -0.41688651 23.203125 -23.885838
    Oben rechts KachelX + 1 290 KachelY 291 0.41724277 -0.41688651 23.906250 -23.885838
    Unten links KachelX 289 KachelY + 1 292 0.40497093 -0.42807926 23.203125 -24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 290 KachelY + 1 292 0.41724277 -0.42807926 23.906250 -24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41688651--0.42807926) × R
    0.01119275 × 6371000     		dl = 71309.0102500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41688651--0.42807926) × R
    0.01119275 × 6371000     		dr = 71309.0102500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.41724277) × cos(-0.41688651) × R
    0.01227184 × 0.91435407069783 × 6371000     		do = 71487.7604983859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.41724277) × cos(-0.42807926) × R
    0.01227184 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 71128.9513329081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41688651)-sin(-0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91435407069783-0.909764772910752)×R²
    abs(0.41724277-0.40497093)×0.00458929778707784×R²
    0.01227184×0.00458929778707784×6371000²
    0.01227184×0.00458929778707784×40589641000000     		ar = 5084981369.22115m²