Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28928 / 12544
N 38.822591°
E137.812500°
← 951.72 m → N 38.822591°
E137.823486°

951.83 m

951.83 m
N 38.814031°
E137.812500°
← 951.83 m →
905 926 m²
N 38.814031°
E137.823486°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.882827758789062 y=0.382827758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.882827758789062 × 215)
    floor (0.882827758789062 × 32768)
    floor (28928.5)
    tx = 28928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382827758789062 × 215)
    floor (0.382827758789062 × 32768)
    floor (12544.5)
    ty = 12544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28928 / 12544 ti = "15/28928/12544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28928/12544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28928 ÷ 215
    28928 ÷ 32768
    x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12544 ÷ 215
    12544 ÷ 32768
    y = 0.3828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535
    Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.3828125 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535
    Φ = 0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736310778164063))-π/2
    2×atan(2.08821738911978)-π/2
    2×1.12418918173392-π/2
    2.24837836346783-1.57079632675
    φ = 0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28928 KachelY 12544 2.40528188 0.67758204 137.812500 38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 28929 KachelY 12544 2.40547362 0.67758204 137.823486 38.822591
    Unten links KachelX 28928 KachelY + 1 12545 2.40528188 0.67743264 137.812500 38.814031
    Unten rechts KachelX + 1 28929 KachelY + 1 12545 2.40547362 0.67743264 137.823486 38.814031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.67758204-0.67743264) × R
    0.000149399999999966 × 6371000
    dl = 951.827399999785m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.67758204-0.67743264) × R
    0.000149399999999966 × 6371000
    dr = 951.827399999785m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.40547362) × cos(0.67758204) × R
    0.000191739999999996 × 0.779090840599552 × 6371000
    do = 951.718314314431m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.40547362) × cos(0.67743264) × R
    0.000191739999999996 × 0.77918449241498 × 6371000
    du = 951.832717081434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.67758204)-sin(0.67743264))×
    abs(λ12)×abs(0.779090840599552-0.77918449241498)×
    abs(2.40547362-2.40528188)×9.36518154275312e-05×
    0.000191739999999996×9.36518154275312e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.36518154275312e-05×40589641000000
    ar = 905926.016175948m²