Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28928 / 4352
↖ ↑ ↗
← N 78.630006°
E137.812500°		 ← 240.83 m → N 78.630006°
E137.823486°		 →
↑
240.89 m
↓
↑
240.89 m
↓
N 78.627839°
E137.812500°		 ← 240.87 m →
58 017 m²		 N 78.627839°
E137.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.882827758789062 y=0.132827758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.882827758789062 × 215)
    floor (0.882827758789062 × 32768)
    floor (28928.5)     		tx = 28928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132827758789062 × 215)
    floor (0.132827758789062 × 32768)
    floor (4352.5)     		ty = 4352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28928 / 4352 ti = "15/28928/4352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28928/4352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28928 ÷ 215
    28928 ÷ 32768     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4352 ÷ 215
    4352 ÷ 32768     		y = 0.1328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1328125 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30710710491406))-π/2
    2×atan(10.0453225164482)-π/2
    2×1.47157440740029-π/2
    2.94314881480058-1.57079632675     		φ = 1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28928 KachelY 4352 2.40528188 1.37235249 137.812500 78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 28929 KachelY 4352 2.40547362 1.37235249 137.823486 78.630006
    Unten links KachelX 28928 KachelY + 1 4353 2.40528188 1.37231468 137.812500 78.627839
    Unten rechts KachelX + 1 28929 KachelY + 1 4353 2.40547362 1.37231468 137.823486 78.627839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37235249-1.37231468) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dl = 240.887510000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37235249-1.37231468) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dr = 240.887510000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.40547362) × cos(1.37235249) × R
    0.000191739999999996 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 240.826223893541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.40547362) × cos(1.37231468) × R
    0.000191739999999996 × 0.197181015131412 × 6371000     		du = 240.871505036897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37235249)-sin(1.37231468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.197181015131412)×R²
    abs(2.40547362-2.40528188)×3.7067820919473e-05×R²
    0.000191739999999996×3.7067820919473e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.7067820919473e-05×40589641000000     		ar = 58017.4832537712m²