Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28932 / 12548
↖ ↑ ↗
← N 38.788345°
E137.856446°		 ← 952.18 m → N 38.788345°
E137.867431°		 →
↑
952.27 m
↓
↑
952.27 m
↓
N 38.779781°
E137.856446°		 ← 952.29 m →
906 786 m²		 N 38.779781°
E137.867431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.882949829101562 y=0.382949829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.882949829101562 × 215)
    floor (0.882949829101562 × 32768)
    floor (28932.5)     		tx = 28932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382949829101562 × 215)
    floor (0.382949829101562 × 32768)
    floor (12548.5)     		ty = 12548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28932 / 12548 ti = "15/28932/12548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28932/12548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28932 ÷ 215
    28932 ÷ 32768     		x = 0.8829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12548 ÷ 215
    12548 ÷ 32768     		y = 0.3829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8829345703125 × 2 - 1) × π
    0.765869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40604887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    0.234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.735543787770142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40604887} λ = 2.40604887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.735543787770142))-π/2
    2×atan(2.08661636050717)-π/2
    2×1.1238903323127-π/2
    2.2477806646254-1.57079632675     		φ = 0.67698434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40604887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67698434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.788345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28932 KachelY 12548 2.40604887 0.67698434 137.856446 38.788345
    Oben rechts KachelX + 1 28933 KachelY 12548 2.40624061 0.67698434 137.867431 38.788345
    Unten links KachelX 28932 KachelY + 1 12549 2.40604887 0.67683487 137.856446 38.779781
    Unten rechts KachelX + 1 28933 KachelY + 1 12549 2.40624061 0.67683487 137.867431 38.779781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67698434-0.67683487) × R
    0.000149469999999985 × 6371000     		dl = 952.273369999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67698434-0.67683487) × R
    0.000149469999999985 × 6371000     		dr = 952.273369999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40604887-2.40624061) × cos(0.67698434) × R
    0.000191739999999996 × 0.779465406147364 × 6371000     		do = 952.175874425765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40604887-2.40624061) × cos(0.67683487) × R
    0.000191739999999996 × 0.779559032214909 × 6371000     		du = 952.290245739784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67698434)-sin(0.67683487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779465406147364-0.779559032214909)×R²
    abs(2.40624061-2.40604887)×9.36260675451495e-05×R²
    0.000191739999999996×9.36260675451495e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.36260675451495e-05×40589641000000     		ar = 906786.186838571m²