Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28936 / 12552
↖ ↑ ↗
← N 38.754083°
E137.900391°		 ← 952.63 m → N 38.754083°
E137.911377°		 →
↑
952.72 m
↓
↑
952.72 m
↓
N 38.745515°
E137.900391°		 ← 952.75 m →
907 647 m²		 N 38.745515°
E137.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883071899414062 y=0.383071899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883071899414062 × 215)
    floor (0.883071899414062 × 32768)
    floor (28936.5)     		tx = 28936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383071899414062 × 215)
    floor (0.383071899414062 × 32768)
    floor (12552.5)     		ty = 12552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28936 / 12552 ti = "15/28936/12552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28936/12552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28936 ÷ 215
    28936 ÷ 32768     		x = 0.883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12552 ÷ 215
    12552 ÷ 32768     		y = 0.383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.883056640625 × 2 - 1) × π
    0.76611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.40681586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    0.23388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.734776797376221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40681586} λ = 2.40681586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.734776797376221))-π/2
    2×atan(2.08501655939733)-π/2
    2×1.12359133926657-π/2
    2.24718267853315-1.57079632675     		φ = 0.67638635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40681586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67638635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.754083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28936 KachelY 12552 2.40681586 0.67638635 137.900391 38.754083
    Oben rechts KachelX + 1 28937 KachelY 12552 2.40700760 0.67638635 137.911377 38.754083
    Unten links KachelX 28936 KachelY + 1 12553 2.40681586 0.67623681 137.900391 38.745515
    Unten rechts KachelX + 1 28937 KachelY + 1 12553 2.40700760 0.67623681 137.911377 38.745515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67638635-0.67623681) × R
    0.000149540000000004 × 6371000     		dl = 952.719340000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67638635-0.67623681) × R
    0.000149540000000004 × 6371000     		dr = 952.719340000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40681586-2.40700760) × cos(0.67638635) × R
    0.000191739999999996 × 0.779839874768796 × 6371000     		do = 952.633316134203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40681586-2.40700760) × cos(0.67623681) × R
    0.000191739999999996 × 0.779933474955955 × 6371000     		du = 952.747655833376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67638635)-sin(0.67623681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779839874768796-0.779933474955955)×R²
    abs(2.40700760-2.40681586)×9.36001871585379e-05×R²
    0.000191739999999996×9.36001871585379e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.36001871585379e-05×40589641000000     		ar = 907646.652722402m²