Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 290 / 34
↖ ↑ ↗
← N 82.494824°
E 23.906250°		 ← 10.212 km → N 82.494824°
E 24.609375°		 →
↑
10.274 km
↓
↑
10.274 km
↓
N 82.402423°
E 23.906250°		 ← 10.337 km →
105.565 km²		 N 82.402423°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5673828125 y=0.0673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5673828125 × 29)
    floor (0.5673828125 × 512)
    floor (290.5)     		tx = 290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0673828125 × 29)
    floor (0.0673828125 × 512)
    floor (34.5)     		ty = 34
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 290 / 34 ti = "9/290/34"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/290/34.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 290 ÷ 29
    290 ÷ 512     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34 ÷ 29
    34 ÷ 512     		y = 0.06640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06640625 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72434987920703))-π/2
    2×atan(15.246498638356)-π/2
    2×1.50530130733126-π/2
    3.01060261466252-1.57079632675     		φ = 1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 290 KachelY 34 0.41724277 1.43980629 23.906250 82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 291 KachelY 34 0.42951462 1.43980629 24.609375 82.494824
    Unten links KachelX 290 KachelY + 1 35 0.41724277 1.43819360 23.906250 82.402423
    Unten rechts KachelX + 1 291 KachelY + 1 35 0.42951462 1.43819360 24.609375 82.402423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43980629-1.43819360) × R
    0.00161268999999997 × 6371000     		dl = 10274.4479899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43980629-1.43819360) × R
    0.00161268999999997 × 6371000     		dr = 10274.4479899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42951462) × cos(1.43980629) × R
    0.01227185 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 10212.0570103265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42951462) × cos(1.43819360) × R
    0.01227185 × 0.132214465332803 × 6371000     		du = 10337.0499864185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43980629)-sin(1.43819360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.132214465332803)×R²
    abs(0.42951462-0.41724277)×0.00159870364621165×R²
    0.01227185×0.00159870364621165×6371000²
    0.01227185×0.00159870364621165×40589641000000     		ar = 105565388.418806m²