Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 290 / 802
↖ ↑ ↗
← N 36.315125°
W129.023438°		 ← 15.750 km → N 36.315125°
W128.847656°		 →
↑
15.764 km
↓
↑
15.764 km
↓
N 36.173357°
W129.023438°		 ← 15.778 km →
248.501 km²		 N 36.173357°
W128.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141845703125 y=0.391845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141845703125 × 211)
    floor (0.141845703125 × 2048)
    floor (290.5)     		tx = 290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.391845703125 × 211)
    floor (0.391845703125 × 2048)
    floor (802.5)     		ty = 802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 290 / 802 ti = "11/290/802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/290/802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 290 ÷ 211
    290 ÷ 2048     		x = 0.1416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 802 ÷ 211
    802 ÷ 2048     		y = 0.3916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1416015625 × 2 - 1) × π
    -0.716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25188380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3916015625 × 2 - 1) × π
    0.216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.681087469801758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25188380} λ = -2.25188380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.681087469801758))-π/2
    2×atan(1.9760254322244)-π/2
    2×1.10230741443827-π/2
    2.20461482887654-1.57079632675     		φ = 0.63381850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25188380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.023438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63381850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.315125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 290 KachelY 802 -2.25188380 0.63381850 -129.023438 36.315125
    Oben rechts KachelX + 1 291 KachelY 802 -2.24881583 0.63381850 -128.847656 36.315125
    Unten links KachelX 290 KachelY + 1 803 -2.25188380 0.63134418 -129.023438 36.173357
    Unten rechts KachelX + 1 291 KachelY + 1 803 -2.24881583 0.63134418 -128.847656 36.173357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63381850-0.63134418) × R
    0.00247431999999992 × 6371000     		dl = 15763.8927199995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63381850-0.63134418) × R
    0.00247431999999992 × 6371000     		dr = 15763.8927199995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25188380--2.24881583) × cos(0.63381850) × R
    0.00306797000000003 × 0.805771973626887 × 6371000     		do = 15749.648705324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25188380--2.24881583) × cos(0.63134418) × R
    0.00306797000000003 × 0.807234861969926 × 6371000     		du = 15778.2423748137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63381850)-sin(0.63134418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.805771973626887-0.807234861969926)×R²
    abs(-2.24881583--2.25188380)×0.00146288834303965×R²
    0.00306797000000003×0.00146288834303965×6371000²
    0.00306797000000003×0.00146288834303965×40589641000000     		ar = 248501273.120016m²