Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29184 / 12801
↖ ↑ ↗
← N 36.589068°
E140.625000°		 ← 980.89 m → N 36.589068°
E140.635986°		 →
↑
980.94 m
↓
↑
980.94 m
↓
N 36.580246°
E140.625000°		 ← 981 m →
962 254 m²		 N 36.580246°
E140.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.890640258789062 y=0.390670776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.890640258789062 × 215)
    floor (0.890640258789062 × 32768)
    floor (29184.5)     		tx = 29184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.390670776367188 × 215)
    floor (0.390670776367188 × 32768)
    floor (12801.5)     		ty = 12801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29184 / 12801 ti = "15/29184/12801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29184/12801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29184 ÷ 215
    29184 ÷ 32768     		x = 0.890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12801 ÷ 215
    12801 ÷ 32768     		y = 0.390655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.890625 × 2 - 1) × π
    0.78125 × 3.1415926535     		Λ = 2.45436926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390655517578125 × 2 - 1) × π
    0.21868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.687031645354645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.45436926} λ = 2.45436926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687031645354645))-π/2
    2×atan(1.98780625323679)-π/2
    2×1.10469802004868-π/2
    2.20939604009736-1.57079632675     		φ = 0.63859971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.45436926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 140.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63859971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.589068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29184 KachelY 12801 2.45436926 0.63859971 140.625000 36.589068
    Oben rechts KachelX + 1 29185 KachelY 12801 2.45456101 0.63859971 140.635986 36.589068
    Unten links KachelX 29184 KachelY + 1 12802 2.45436926 0.63844574 140.625000 36.580246
    Unten rechts KachelX + 1 29185 KachelY + 1 12802 2.45456101 0.63844574 140.635986 36.580246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63859971-0.63844574) × R
    0.000153970000000059 × 6371000     		dl = 980.942870000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63859971-0.63844574) × R
    0.000153970000000059 × 6371000     		dr = 980.942870000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.45436926-2.45456101) × cos(0.63859971) × R
    0.000191749999999935 × 0.802931218036192 × 6371000     		do = 980.892291002988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.45436926-2.45456101) × cos(0.63844574) × R
    0.000191749999999935 × 0.803022985676423 × 6371000     		du = 981.004397954174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63859971)-sin(0.63844574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802931218036192-0.803022985676423)×R²
    abs(2.45456101-2.45436926)×9.17676402308887e-05×R²
    0.000191749999999935×9.17676402308887e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.17676402308887e-05×40589641000000     		ar = 962254.286256277m²