Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 292 / 804
↖ ↑ ↗
← N 36.031332°
W128.671875°		 ← 15.807 km → N 36.031332°
W128.496094°		 →
↑
15.821 km
↓
↑
15.821 km
↓
N 35.889050°
W128.671875°		 ← 15.835 km →
250.304 km²		 N 35.889050°
W128.496094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142822265625 y=0.392822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142822265625 × 211)
    floor (0.142822265625 × 2048)
    floor (292.5)     		tx = 292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.392822265625 × 211)
    floor (0.392822265625 × 2048)
    floor (804.5)     		ty = 804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 292 / 804 ti = "11/292/804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/292/804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 292 ÷ 211
    292 ÷ 2048     		x = 0.142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 804 ÷ 211
    804 ÷ 2048     		y = 0.392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142578125 × 2 - 1) × π
    -0.71484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24574787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.392578125 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.674951546650391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24574787} λ = -2.24574787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.674951546650391))-π/2
    2×atan(1.96393781429889)-π/2
    2×1.09983085007737-π/2
    2.19966170015474-1.57079632675     		φ = 0.62886537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24574787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.62886537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.031332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 292 KachelY 804 -2.24574787 0.62886537 -128.671875 36.031332
    Oben rechts KachelX + 1 293 KachelY 804 -2.24267991 0.62886537 -128.496094 36.031332
    Unten links KachelX 292 KachelY + 1 805 -2.24574787 0.62638209 -128.671875 35.889050
    Unten rechts KachelX + 1 293 KachelY + 1 805 -2.24267991 0.62638209 -128.496094 35.889050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.62886537-0.62638209) × R
    0.00248327999999998 × 6371000     		dl = 15820.9768799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.62886537-0.62638209) × R
    0.00248327999999998 × 6371000     		dr = 15820.9768799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24574787--2.24267991) × cos(0.62886537) × R
    0.00306796000000009 × 0.808695449364141 × 6371000     		do = 15806.7395478861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24574787--2.24267991) × cos(0.62638209) × R
    0.00306796000000009 × 0.810153688132995 × 6371000     		du = 15835.242243723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.62886537)-sin(0.62638209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.808695449364141-0.810153688132995)×R²
    abs(-2.24267991--2.24574787)×0.00145823876885398×R²
    0.00306796000000009×0.00145823876885398×6371000²
    0.00306796000000009×0.00145823876885398×40589641000000     		ar = 250303659.809758m²