Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29200 / 12816
↖ ↑ ↗
← N 36.456636°
E140.800781°		 ← 982.57 m → N 36.456636°
E140.811768°		 →
↑
982.60 m
↓
↑
982.60 m
↓
N 36.447799°
E140.800781°		 ← 982.68 m →
965 530 m²		 N 36.447799°
E140.811768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.891128540039062 y=0.391128540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.891128540039062 × 215)
    floor (0.891128540039062 × 32768)
    floor (29200.5)     		tx = 29200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.391128540039062 × 215)
    floor (0.391128540039062 × 32768)
    floor (12816.5)     		ty = 12816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29200 / 12816 ti = "15/29200/12816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29200/12816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29200 ÷ 215
    29200 ÷ 32768     		x = 0.89111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12816 ÷ 215
    12816 ÷ 32768     		y = 0.39111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.89111328125 × 2 - 1) × π
    0.7822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.45743722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39111328125 × 2 - 1) × π
    0.2177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.684155431377441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.45743722} λ = 2.45743722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.684155431377441))-π/2
    2×atan(1.98209711139983)-π/2
    2×1.10354232969133-π/2
    2.20708465938266-1.57079632675     		φ = 0.63628833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.45743722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 140.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63628833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.456636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29200 KachelY 12816 2.45743722 0.63628833 140.800781 36.456636
    Oben rechts KachelX + 1 29201 KachelY 12816 2.45762897 0.63628833 140.811768 36.456636
    Unten links KachelX 29200 KachelY + 1 12817 2.45743722 0.63613410 140.800781 36.447799
    Unten rechts KachelX + 1 29201 KachelY + 1 12817 2.45762897 0.63613410 140.811768 36.447799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63628833-0.63613410) × R
    0.000154229999999922 × 6371000     		dl = 982.599329999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63628833-0.63613410) × R
    0.000154229999999922 × 6371000     		dr = 982.599329999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.45743722-2.45762897) × cos(0.63628833) × R
    0.000191749999999935 × 0.804306820171228 × 6371000     		do = 982.572780563531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.45743722-2.45762897) × cos(0.63613410) × R
    0.000191749999999935 × 0.804398456264006 × 6371000     		du = 982.684726811186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63628833)-sin(0.63613410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.804306820171228-0.804398456264006)×R²
    abs(2.45762897-2.45743722)×9.16360927780691e-05×R²
    0.000191749999999935×9.16360927780691e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.16360927780691e-05×40589641000000     		ar = 965530.356925367m²