Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29216 / 12832
↖ ↑ ↗
← N 36.315125°
E140.976562°		 ← 984.36 m → N 36.315125°
E140.987549°		 →
↑
984.38 m
↓
↑
984.38 m
↓
N 36.306272°
E140.976562°		 ← 984.47 m →
969 045 m²		 N 36.306272°
E140.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.891616821289062 y=0.391616821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.891616821289062 × 215)
    floor (0.891616821289062 × 32768)
    floor (29216.5)     		tx = 29216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.391616821289062 × 215)
    floor (0.391616821289062 × 32768)
    floor (12832.5)     		ty = 12832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29216 / 12832 ti = "15/29216/12832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29216/12832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29216 ÷ 215
    29216 ÷ 32768     		x = 0.8916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12832 ÷ 215
    12832 ÷ 32768     		y = 0.3916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8916015625 × 2 - 1) × π
    0.783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.46050518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3916015625 × 2 - 1) × π
    0.216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.681087469801758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.46050518} λ = 2.46050518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.681087469801758))-π/2
    2×atan(1.9760254322244)-π/2
    2×1.10230741443827-π/2
    2.20461482887654-1.57079632675     		φ = 0.63381850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.46050518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 140.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63381850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.315125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29216 KachelY 12832 2.46050518 0.63381850 140.976562 36.315125
    Oben rechts KachelX + 1 29217 KachelY 12832 2.46069693 0.63381850 140.987549 36.315125
    Unten links KachelX 29216 KachelY + 1 12833 2.46050518 0.63366399 140.976562 36.306272
    Unten rechts KachelX + 1 29217 KachelY + 1 12833 2.46069693 0.63366399 140.987549 36.306272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63381850-0.63366399) × R
    0.000154509999999997 × 6371000     		dl = 984.383209999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63381850-0.63366399) × R
    0.000154509999999997 × 6371000     		dr = 984.383209999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.46050518-2.46069693) × cos(0.63381850) × R
    0.000191749999999935 × 0.805771973626887 × 6371000     		do = 984.362669532236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.46050518-2.46069693) × cos(0.63366399) × R
    0.000191749999999935 × 0.805863468833387 × 6371000     		du = 984.474443667684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63381850)-sin(0.63366399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.805771973626887-0.805863468833387)×R²
    abs(2.46069693-2.46050518)×9.14952065004249e-05×R²
    0.000191749999999935×9.14952065004249e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.14952065004249e-05×40589641000000     		ar = 969045.100657658m²