Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 293 / 292
↖ ↑ ↗
← S 24.527135°
E 26.015625°		 ← 71.129 km → S 24.527135°
E 26.718750°		 →
↑
70.947 km
↓
↑
70.947 km
↓
S 25.165173°
E 26.015625°		 ← 70.763 km →
5 033.44 km²		 S 25.165173°
E 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5732421875 y=0.5712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5732421875 × 29)
    floor (0.5732421875 × 512)
    floor (293.5)     		tx = 293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5712890625 × 29)
    floor (0.5712890625 × 512)
    floor (292.5)     		ty = 292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 293 / 292 ti = "9/293/292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/293/292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 293 ÷ 29
    293 ÷ 512     		x = 0.572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 292 ÷ 29
    292 ÷ 512     		y = 0.5703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572265625 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5703125 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45405831} λ = 0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441786466898437))-π/2
    2×atan(0.642886898433291)-π/2
    2×0.571358534035749-π/2
    1.1427170680715-1.57079632675     		φ = -0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 293 KachelY 292 0.45405831 -0.42807926 26.015625 -24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 294 KachelY 292 0.46633016 -0.42807926 26.718750 -24.527135
    Unten links KachelX 293 KachelY + 1 293 0.45405831 -0.43921513 26.015625 -25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 294 KachelY + 1 293 0.46633016 -0.43921513 26.718750 -25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42807926--0.43921513) × R
    0.01113587 × 6371000     		dl = 70946.6277699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42807926--0.43921513) × R
    0.01113587 × 6371000     		dr = 70946.6277699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45405831-0.46633016) × cos(-0.42807926) × R
    0.01227185 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 71129.0092940217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45405831-0.46633016) × cos(-0.43921513) × R
    0.01227185 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 70763.1802066764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42807926)-sin(-0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.905085691620626)×R²
    abs(0.46633016-0.45405831)×0.00467908129012562×R²
    0.01227185×0.00467908129012562×6371000²
    0.01227185×0.00467908129012562×40589641000000     		ar = 5033438191.47844m²