Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 294 / 286
↖ ↑ ↗
← S 20.632784°
E 26.718750°		 ← 73.169 km → S 20.632784°
E 27.421875°		 →
↑
73.009 km
↓
↑
73.009 km
↓
S 21.289374°
E 26.718750°		 ← 72.849 km →
5 330.40 km²		 S 21.289374°
E 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5751953125 y=0.5595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5751953125 × 29)
    floor (0.5751953125 × 512)
    floor (294.5)     		tx = 294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5595703125 × 29)
    floor (0.5595703125 × 512)
    floor (286.5)     		ty = 286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 294 / 286 ti = "9/294/286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/294/286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 294 ÷ 29
    294 ÷ 512     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 286 ÷ 29
    286 ÷ 512     		y = 0.55859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55859375 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368155389082031))-π/2
    2×atan(0.692009642590627)-π/2
    2×0.605343153890922-π/2
    1.21068630778184-1.57079632675     		φ = -0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 294 KachelY 286 0.46633016 -0.36011002 26.718750 -20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 295 KachelY 286 0.47860201 -0.36011002 27.421875 -20.632784
    Unten links KachelX 294 KachelY + 1 287 0.46633016 -0.37156968 26.718750 -21.289374
    Unten rechts KachelX + 1 295 KachelY + 1 287 0.47860201 -0.37156968 27.421875 -21.289374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36011002--0.37156968) × R
    0.01145966 × 6371000     		dl = 73009.4938600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36011002--0.37156968) × R
    0.01145966 × 6371000     		dr = 73009.4938600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.47860201) × cos(-0.36011002) × R
    0.01227185 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 73169.0857755889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.47860201) × cos(-0.37156968) × R
    0.01227185 × 0.931758576749633 × 6371000     		du = 72848.5718933316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36011002)-sin(-0.37156968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.931758576749633)×R²
    abs(0.47860201-0.46633016)×0.00409948405300042×R²
    0.01227185×0.00409948405300042×6371000²
    0.01227185×0.00409948405300042×40589641000000     		ar = 5330395974.63417m²