Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29440 / 3840
↖ ↑ ↗
← N 79.687184°
E143.437500°		 ← 218.69 m → N 79.687184°
E143.448486°		 →
↑
218.78 m
↓
↑
218.78 m
↓
N 79.685217°
E143.437500°		 ← 218.73 m →
47 849 m²		 N 79.685217°
E143.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.898452758789062 y=0.117202758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.898452758789062 × 215)
    floor (0.898452758789062 × 32768)
    floor (29440.5)     		tx = 29440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117202758789062 × 215)
    floor (0.117202758789062 × 32768)
    floor (3840.5)     		ty = 3840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29440 / 3840 ti = "15/29440/3840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29440/3840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29440 ÷ 215
    29440 ÷ 32768     		x = 0.8984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3840 ÷ 215
    3840 ÷ 32768     		y = 0.1171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8984375 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.50345665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1171875 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.50345665} λ = 2.50345665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40528187533594))-π/2
    2×atan(11.0815534585964)-π/2
    2×1.48080003096091-π/2
    2.96160006192181-1.57079632675     		φ = 1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.50345665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 143.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29440 KachelY 3840 2.50345665 1.39080374 143.437500 79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 29441 KachelY 3840 2.50364839 1.39080374 143.448486 79.687184
    Unten links KachelX 29440 KachelY + 1 3841 2.50345665 1.39076940 143.437500 79.685217
    Unten rechts KachelX + 1 29441 KachelY + 1 3841 2.50364839 1.39076940 143.448486 79.685217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39080374-1.39076940) × R
    3.43400000000216e-05 × 6371000     		dl = 218.780140000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39080374-1.39076940) × R
    3.43400000000216e-05 × 6371000     		dr = 218.780140000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.50345665-2.50364839) × cos(1.39080374) × R
    0.000191739999999996 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 218.689238345705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.50345665-2.50364839) × cos(1.39076940) × R
    0.000191739999999996 × 0.179056065118244 × 6371000     		du = 218.73050943709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39080374)-sin(1.39076940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.179056065118244)×R²
    abs(2.50364839-2.50345665)×3.3785132423525e-05×R²
    0.000191739999999996×3.3785132423525e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.3785132423525e-05×40589641000000     		ar = 47849.3768343011m²