Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2945 / 4993
↖ ↑ ↗
← S 36.633162°
W 50.581054°		 ← 3 921.28 m → S 36.633162°
W 50.537109°		 →
↑
3 920.39 m
↓
↑
3 920.39 m
↓
S 36.668419°
W 50.581054°		 ← 3 919.48 m →
15 369 430 m²		 S 36.668419°
W 50.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35955810546875 y=0.60955810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35955810546875 × 213)
    floor (0.35955810546875 × 8192)
    floor (2945.5)     		tx = 2945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60955810546875 × 213)
    floor (0.60955810546875 × 8192)
    floor (4993.5)     		ty = 4993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2945 / 4993 ti = "13/2945/4993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2945/4993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2945 ÷ 213
    2945 ÷ 8192     		x = 0.3594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4993 ÷ 213
    4993 ÷ 8192     		y = 0.6094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.281005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88280594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.218994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.687990383347046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88280594} λ = -0.88280594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687990383347046))-π/2
    2×atan(0.502585058188273)-π/2
    2×0.465713516412953-π/2
    0.931427032825905-1.57079632675     		φ = -0.63936929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88280594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.581054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63936929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.633162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2945 KachelY 4993 -0.88280594 -0.63936929 -50.581054 -36.633162
    Oben rechts KachelX + 1 2946 KachelY 4993 -0.88203895 -0.63936929 -50.537109 -36.633162
    Unten links KachelX 2945 KachelY + 1 4994 -0.88280594 -0.63998464 -50.581054 -36.668419
    Unten rechts KachelX + 1 2946 KachelY + 1 4994 -0.88203895 -0.63998464 -50.537109 -36.668419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63936929--0.63998464) × R
    0.000615350000000014 × 6371000     		dl = 3920.39485000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63936929--0.63998464) × R
    0.000615350000000014 × 6371000     		dr = 3920.39485000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88280594--0.88203895) × cos(-0.63936929) × R
    0.000766990000000023 × 0.802472255461265 × 6371000     		do = 3921.27529172275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88280594--0.88203895) × cos(-0.63998464) × R
    0.000766990000000023 × 0.802104930711653 × 6371000     		du = 3919.48036179852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63936929)-sin(-0.63998464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802472255461265-0.802104930711653)×R²
    abs(-0.88203895--0.88280594)×0.000367324749612208×R²
    0.000766990000000023×0.000367324749612208×6371000²
    0.000766990000000023×0.000367324749612208×40589641000000     		ar = 15369429.527063m²