Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2960 / 400
↖ ↑ ↗
← N 80.872827°
E 80.156250°		 ← 1 550.25 m → N 80.872827°
E 80.244141°		 →
↑
1 551.40 m
↓
↑
1 551.40 m
↓
N 80.858875°
E 80.156250°		 ← 1 552.60 m →
2 406 889 m²		 N 80.858875°
E 80.244141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7227783203125 y=0.0977783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7227783203125 × 212)
    floor (0.7227783203125 × 4096)
    floor (2960.5)     		tx = 2960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0977783203125 × 212)
    floor (0.0977783203125 × 4096)
    floor (400.5)     		ty = 400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2960 / 400 ti = "12/2960/400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2960/400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2960 ÷ 212
    2960 ÷ 4096     		x = 0.72265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 400 ÷ 212
    400 ÷ 4096     		y = 0.09765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.72265625 × 2 - 1) × π
    0.4453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.39899048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09765625 × 2 - 1) × π
    0.8046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52800033836328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.39899048} λ = 1.39899048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52800033836328))-π/2
    2×atan(12.528428453837)-π/2
    2×1.49114671854133-π/2
    2.98229343708265-1.57079632675     		φ = 1.41149711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.39899048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 80.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41149711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.872827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2960 KachelY 400 1.39899048 1.41149711 80.156250 80.872827
    Oben rechts KachelX + 1 2961 KachelY 400 1.40052446 1.41149711 80.244141 80.872827
    Unten links KachelX 2960 KachelY + 1 401 1.39899048 1.41125360 80.156250 80.858875
    Unten rechts KachelX + 1 2961 KachelY + 1 401 1.40052446 1.41125360 80.244141 80.858875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41149711-1.41125360) × R
    0.000243510000000002 × 6371000     		dl = 1551.40221000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41149711-1.41125360) × R
    0.000243510000000002 × 6371000     		dr = 1551.40221000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.39899048-1.40052446) × cos(1.41149711) × R
    0.00153398000000005 × 0.15862633525071 × 6371000     		do = 1550.25304563981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.39899048-1.40052446) × cos(1.41125360) × R
    0.00153398000000005 × 0.158866757389322 × 6371000     		du = 1552.60268797401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41149711)-sin(1.41125360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15862633525071-0.158866757389322)×R²
    abs(1.40052446-1.39899048)×0.000240422138612695×R²
    0.00153398000000005×0.000240422138612695×6371000²
    0.00153398000000005×0.000240422138612695×40589641000000     		ar = 2406888.63310798m²