Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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2 / 3 / 1
N 66.513260°
E 90.000000°
← 3 988.374 km → N 66.513260°
E180.000000°

7 395.937 km

7 395.937 km
N  0.000000°
E 90.000000°
← 10 007.543 km →
58 475 852 km²
N  0.000000°
E180.000000°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 2 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875 y=0.375 und der Vergrößerungsstufe zoom=2 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875 × 22)
    floor (0.875 × 4)
    floor (3.5)
    tx = 3
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375 × 22)
    floor (0.375 × 4)
    floor (1.5)
    ty = 1
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 2 / 3 / 1 ti = "2/3/1"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/2/3/1.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3 ÷ 22
    3 ÷ 4
    x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1 ÷ 22
    1 ÷ 4
    y = 0.25
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535
    Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.25 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535
    Φ = 1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57079632675))-π/2
    2×atan(4.81047738074938)-π/2
    2×1.3658358588729-π/2
    2.73167171774581-1.57079632675
    φ = 1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3 KachelY 1 1.57079633 1.16087539 90.000000 66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 4 KachelY 1 3.14159265 1.16087539 180.000000 66.513260
    Unten links KachelX 3 KachelY + 1 2 1.57079633 0.00000000 90.000000 0.000000
    Unten rechts KachelX + 1 4 KachelY + 1 2 3.14159265 0.00000000 180.000000 0.000000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.16087539-0.00000000) × R
    1.16087539 × 6371000
    dl = 7395937.10969m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.16087539-0.00000000) × R
    1.16087539 × 6371000
    dr = 7395937.10969m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-3.14159265) × cos(1.16087539) × R
    1.57079632 × 0.398536816226928 × 6371000
    do = 3988374.46684306m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-3.14159265) × cos(0.00000000) × R
    1.57079632 × 1 × 6371000
    du = 10007543.35472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.16087539)-sin(0.00000000))×
    abs(λ12)×abs(0.398536816226928-1)×
    abs(3.14159265-1.57079633)×0.601463183773072×
    1.57079632×0.601463183773072×6371000²
    1.57079632×0.601463183773072×40589641000000
    ar = 58475852441549.6m²