Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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← S 79.171334°
W 45.000000°		 ← 940.072 km → S 79.171334°
E  0.000000°		 →
↑
653.803 km
↓
↑
653.803 km
↓
S 85.051129°
W 45.000000°		 ← 431.659 km →
448 815 km²		 S 85.051129°
E  0.000000°
     

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 3 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4375 y=0.9375 und der Vergrößerungsstufe zoom=3 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4375 × 23)
    floor (0.4375 × 8)
    floor (3.5)     		tx = 3
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9375 × 23)
    floor (0.9375 × 8)
    floor (7.5)     		ty = 7
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 3 / 3 / 7 ti = "3/3/7"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/3/3/7.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3 ÷ 23
    3 ÷ 8     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7 ÷ 23
    7 ÷ 8     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3 KachelY 7 -0.78539816 -1.38180046 -45.000000 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 4 KachelY 7 0.00000000 -1.38180046 0.000000 -79.171334
    Unten links KachelX 3 KachelY + 1 8 -0.78539816 -1.48442223 -45.000000 -85.051129
    Unten rechts KachelX + 1 4 KachelY + 1 8 0.00000000 -1.48442223 0.000000 -85.051129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.48442223) × R
    0.10262177 × 6371000     		dl = 653803.29667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.48442223) × R
    0.10262177 × 6371000     		dr = 653803.29667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816-0.00000000) × cos(-1.38180046) × R
    0.78539816 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 940072.279700851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816-0.00000000) × cos(-1.48442223) × R
    0.78539816 × 0.0862667380803361 × 6371000     		du = 431659.060704619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.48442223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.0862667380803361)×R²
    abs(0.00000000--0.78539816)×0.101605998790191×R²
    0.78539816×0.101605998790191×6371000²
    0.78539816×0.101605998790191×40589641000000     		ar = 448815186645.873m²