Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 30 / 46
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
W 11.250000°		 ← 297.428 km → S 61.606397°
W  5.625000°		 →
↑
284.849 km
↓
↑
284.849 km
↓
S 64.168107°
W 11.250000°		 ← 272.538 km →
81 190.7 km²		 S 64.168107°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4765625 y=0.7265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4765625 × 26)
    floor (0.4765625 × 64)
    floor (30.5)     		tx = 30
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7265625 × 26)
    floor (0.7265625 × 64)
    floor (46.5)     		ty = 46
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 30 / 46 ti = "6/30/46"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/30/46.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30 ÷ 26
    30 ÷ 64     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46 ÷ 26
    46 ÷ 64     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30 KachelY 46 -0.19634954 -1.07523446 -11.250000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 31 KachelY 46 -0.09817477 -1.07523446 -5.625000 -61.606397
    Unten links KachelX 30 KachelY + 1 47 -0.19634954 -1.11994474 -11.250000 -64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 31 KachelY + 1 47 -0.09817477 -1.11994474 -5.625000 -64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.11994474) × R
    0.0447102800000001 × 6371000     		dl = 284849.193880001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.11994474) × R
    0.0447102800000001 × 6371000     		dr = 284849.193880001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.09817477) × cos(-1.07523446) × R
    0.09817477 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 297427.942244945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.09817477) × cos(-1.11994474) × R
    0.09817477 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 272538.045878417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.435732185161907)×R²
    abs(-0.09817477--0.19634954)×0.0397938162992453×R²
    0.09817477×0.0397938162992453×6371000²
    0.09817477×0.0397938162992453×40589641000000     		ar = 81190701658.1552m²