Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3007 / 5313
↖ ↑ ↗
← S 47.070122°
W 47.856445°		 ← 3 328.20 m → S 47.070122°
W 47.812500°		 →
↑
3 327.25 m
↓
↑
3 327.25 m
↓
S 47.100045°
W 47.856445°		 ← 3 326.34 m →
11 070 674 m²		 S 47.100045°
W 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36712646484375 y=0.64862060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36712646484375 × 213)
    floor (0.36712646484375 × 8192)
    floor (3007.5)     		tx = 3007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64862060546875 × 213)
    floor (0.64862060546875 × 8192)
    floor (5313.5)     		ty = 5313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3007 / 5313 ti = "13/3007/5313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3007/5313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3007 ÷ 213
    3007 ÷ 8192     		x = 0.3670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5313 ÷ 213
    5313 ÷ 8192     		y = 0.6485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.297119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.933427309401733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83525254} λ = -0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933427309401733))-π/2
    2×atan(0.393203767388115)-π/2
    2×0.374633860836171-π/2
    0.749267721672342-1.57079632675     		φ = -0.82152861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82152861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.070122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3007 KachelY 5313 -0.83525254 -0.82152861 -47.856445 -47.070122
    Oben rechts KachelX + 1 3008 KachelY 5313 -0.83448555 -0.82152861 -47.812500 -47.070122
    Unten links KachelX 3007 KachelY + 1 5314 -0.83525254 -0.82205086 -47.856445 -47.100045
    Unten rechts KachelX + 1 3008 KachelY + 1 5314 -0.83448555 -0.82205086 -47.812500 -47.100045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82152861--0.82205086) × R
    0.000522250000000057 × 6371000     		dl = 3327.25475000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82152861--0.82205086) × R
    0.000522250000000057 × 6371000     		dr = 3327.25475000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83525254--0.83448555) × cos(-0.82152861) × R
    0.000766990000000023 × 0.681102773840653 × 6371000     		do = 3328.20413417284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83525254--0.83448555) × cos(-0.82205086) × R
    0.000766990000000023 × 0.680720295882583 × 6371000     		du = 3326.33515819716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82152861)-sin(-0.82205086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681102773840653-0.680720295882583)×R²
    abs(-0.83448555--0.83525254)×0.000382477958069671×R²
    0.000766990000000023×0.000382477958069671×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382477958069671×40589641000000     		ar = 11070673.9864238m²