Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3008 / 3264
↖ ↑ ↗
← S 72.395706°
E 84.375000°		 ← 2 955.76 m → S 72.395706°
E 84.462891°		 →
↑
2 953.60 m
↓
↑
2 953.60 m
↓
S 72.422268°
E 84.375000°		 ← 2 951.44 m →
8 723 727 m²		 S 72.422268°
E 84.462891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7344970703125 y=0.7969970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7344970703125 × 212)
    floor (0.7344970703125 × 4096)
    floor (3008.5)     		tx = 3008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7969970703125 × 212)
    floor (0.7969970703125 × 4096)
    floor (3264.5)     		ty = 3264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3008 / 3264 ti = "12/3008/3264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3008/3264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3008 ÷ 212
    3008 ÷ 4096     		x = 0.734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3264 ÷ 212
    3264 ÷ 4096     		y = 0.796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.734375 × 2 - 1) × π
    0.46875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796875 × 2 - 1) × π
    -0.59375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47262156} λ = 1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86532063801563))-π/2
    2×atan(0.154846552233033)-π/2
    2×0.15362644896359-π/2
    0.30725289792718-1.57079632675     		φ = -1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3008 KachelY 3264 1.47262156 -1.26354343 84.375000 -72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 3009 KachelY 3264 1.47415554 -1.26354343 84.462891 -72.395706
    Unten links KachelX 3008 KachelY + 1 3265 1.47262156 -1.26400703 84.375000 -72.422268
    Unten rechts KachelX + 1 3009 KachelY + 1 3265 1.47415554 -1.26400703 84.462891 -72.422268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26354343--1.26400703) × R
    0.000463600000000008 × 6371000     		dl = 2953.59560000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26354343--1.26400703) × R
    0.000463600000000008 × 6371000     		dr = 2953.59560000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47262156-1.47415554) × cos(-1.26354343) × R
    0.00153397999999982 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 2955.75505989792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47262156-1.47415554) × cos(-1.26400703) × R
    0.00153397999999982 × 0.301999408886977 × 6371000     		du = 2951.43617022002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26354343)-sin(-1.26400703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.301999408886977)×R²
    abs(1.47415554-1.47262156)×0.000441921171439652×R²
    0.00153397999999982×0.000441921171439652×6371000²
    0.00153397999999982×0.000441921171439652×40589641000000     		ar = 8723727.16906578m²