Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3008 / 704
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E 84.375000°		 ← 2 447.43 m → N 75.497157°
E 84.462891°		 →
↑
2 449.27 m
↓
↑
2 449.27 m
↓
N 75.475130°
E 84.375000°		 ← 2 451.07 m →
5 998 864 m²		 N 75.475130°
E 84.462891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7344970703125 y=0.1719970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7344970703125 × 212)
    floor (0.7344970703125 × 4096)
    floor (3008.5)     		tx = 3008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1719970703125 × 212)
    floor (0.1719970703125 × 4096)
    floor (704.5)     		ty = 704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3008 / 704 ti = "12/3008/704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3008/704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3008 ÷ 212
    3008 ÷ 4096     		x = 0.734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 704 ÷ 212
    704 ÷ 4096     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.734375 × 2 - 1) × π
    0.46875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47262156} λ = 1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3008 KachelY 704 1.47262156 1.31767397 84.375000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 3009 KachelY 704 1.47415554 1.31767397 84.462891 75.497157
    Unten links KachelX 3008 KachelY + 1 705 1.47262156 1.31728953 84.375000 75.475130
    Unten rechts KachelX + 1 3009 KachelY + 1 705 1.47415554 1.31728953 84.462891 75.475130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31728953) × R
    0.00038443999999993 × 6371000     		dl = 2449.26723999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31728953) × R
    0.00038443999999993 × 6371000     		dr = 2449.26723999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47262156-1.47415554) × cos(1.31767397) × R
    0.00153397999999982 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 2447.42986087435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47262156-1.47415554) × cos(1.31728953) × R
    0.00153397999999982 × 0.250800210026571 × 6371000     		du = 2451.06708685058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31728953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.250800210026571)×R²
    abs(1.47415554-1.47262156)×0.000372171387575615×R²
    0.00153397999999982×0.000372171387575615×6371000²
    0.00153397999999982×0.000372171387575615×40589641000000     		ar = 5998864.12353269m²