Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3010 / 5058
↖ ↑ ↗
← S 38.891033°
W 47.724610°		 ← 3 803.36 m → S 38.891033°
W 47.680664°		 →
↑
3 802.47 m
↓
↑
3 802.47 m
↓
S 38.925229°
W 47.724610°		 ← 3 801.53 m →
14 458 672 m²		 S 38.925229°
W 47.680664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36749267578125 y=0.61749267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36749267578125 × 213)
    floor (0.36749267578125 × 8192)
    floor (3010.5)     		tx = 3010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61749267578125 × 213)
    floor (0.61749267578125 × 8192)
    floor (5058.5)     		ty = 5058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3010 / 5058 ti = "13/3010/5058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3010/5058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3010 ÷ 213
    3010 ÷ 8192     		x = 0.367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5058 ÷ 213
    5058 ÷ 8192     		y = 0.617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83295157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.23486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.737844758951904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83295157} λ = -0.83295157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.737844758951904))-π/2
    2×atan(0.478143319925226)-π/2
    2×0.446009877243945-π/2
    0.892019754487891-1.57079632675     		φ = -0.67877657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83295157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.724610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67877657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.891033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3010 KachelY 5058 -0.83295157 -0.67877657 -47.724610 -38.891033
    Oben rechts KachelX + 1 3011 KachelY 5058 -0.83218458 -0.67877657 -47.680664 -38.891033
    Unten links KachelX 3010 KachelY + 1 5059 -0.83295157 -0.67937341 -47.724610 -38.925229
    Unten rechts KachelX + 1 3011 KachelY + 1 5059 -0.83218458 -0.67937341 -47.680664 -38.925229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67877657--0.67937341) × R
    0.000596839999999932 × 6371000     		dl = 3802.46763999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67877657--0.67937341) × R
    0.000596839999999932 × 6371000     		dr = 3802.46763999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83295157--0.83218458) × cos(-0.67877657) × R
    0.000766990000000023 × 0.778341420880445 × 6371000     		do = 3803.36013046147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83295157--0.83218458) × cos(-0.67937341) × R
    0.000766990000000023 × 0.777966561502704 × 6371000     		du = 3801.52838262745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67877657)-sin(-0.67937341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778341420880445-0.777966561502704)×R²
    abs(-0.83218458--0.83295157)×0.000374859377741177×R²
    0.000766990000000023×0.000374859377741177×6371000²
    0.000766990000000023×0.000374859377741177×40589641000000     		ar = 14458671.6676137m²