Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 304 / 368
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
E 33.750000°		 ← 37.179 km → S 61.606397°
E 34.453125°		 →
↑
36.978 km
↓
↑
36.978 km
↓
S 61.938950°
E 33.750000°		 ← 36.779 km →
1 367.41 km²		 S 61.938950°
E 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5947265625 y=0.7197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5947265625 × 29)
    floor (0.5947265625 × 512)
    floor (304.5)     		tx = 304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7197265625 × 29)
    floor (0.7197265625 × 512)
    floor (368.5)     		ty = 368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 304 / 368 ti = "9/304/368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/304/368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 304 ÷ 29
    304 ÷ 512     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 368 ÷ 29
    368 ÷ 512     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 304 KachelY 368 0.58904862 -1.07523446 33.750000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 305 KachelY 368 0.60132047 -1.07523446 34.453125 -61.606397
    Unten links KachelX 304 KachelY + 1 369 0.58904862 -1.08103862 33.750000 -61.938950
    Unten rechts KachelX + 1 305 KachelY + 1 369 0.60132047 -1.08103862 34.453125 -61.938950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.08103862) × R
    0.00580416000000006 × 6371000     		dl = 36978.3033600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.08103862) × R
    0.00580416000000006 × 6371000     		dr = 36978.3033600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.60132047) × cos(-1.07523446) × R
    0.01227185 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 37178.5041415287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.60132047) × cos(-1.08103862) × R
    0.01227185 × 0.470412091102688 × 6371000     		du = 36778.6783972847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.08103862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.470412091102688)×R²
    abs(0.60132047-0.58904862)×0.00511391035846398×R²
    0.01227185×0.00511391035846398×6371000²
    0.01227185×0.00511391035846398×40589641000000     		ar = 1367409404.59286m²