Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3040 / 3168
↖ ↑ ↗
← S 69.657086°
E 87.187500°		 ← 3 397.46 m → S 69.657086°
E 87.275390°		 →
↑
3 395.04 m
↓
↑
3 395.04 m
↓
S 69.687618°
E 87.187500°		 ← 3 392.58 m →
11 526 236 m²		 S 69.687618°
E 87.275390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7423095703125 y=0.7735595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7423095703125 × 212)
    floor (0.7423095703125 × 4096)
    floor (3040.5)     		tx = 3040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7735595703125 × 212)
    floor (0.7735595703125 × 4096)
    floor (3168.5)     		ty = 3168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3040 / 3168 ti = "12/3040/3168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3040/3168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3040 ÷ 212
    3040 ÷ 4096     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3168 ÷ 212
    3168 ÷ 4096     		y = 0.7734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7734375 × 2 - 1) × π
    -0.546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71805848238281))-π/2
    2×atan(0.179414145704914)-π/2
    2×0.177525412001084-π/2
    0.355050824002167-1.57079632675     		φ = -1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3040 KachelY 3168 1.52170894 -1.21574550 87.187500 -69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 3041 KachelY 3168 1.52324292 -1.21574550 87.275390 -69.657086
    Unten links KachelX 3040 KachelY + 1 3169 1.52170894 -1.21627839 87.187500 -69.687618
    Unten rechts KachelX + 1 3041 KachelY + 1 3169 1.52324292 -1.21627839 87.275390 -69.687618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21574550--1.21627839) × R
    0.000532890000000119 × 6371000     		dl = 3395.04219000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21574550--1.21627839) × R
    0.000532890000000119 × 6371000     		dr = 3395.04219000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52324292) × cos(-1.21574550) × R
    0.00153398000000005 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 3397.46172714942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52324292) × cos(-1.21627839) × R
    0.00153398000000005 × 0.347138319994255 × 6371000     		du = 3392.5781427077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21574550)-sin(-1.21627839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.347138319994255)×R²
    abs(1.52324292-1.52170894)×0.000499702358305154×R²
    0.00153398000000005×0.000499702358305154×6371000²
    0.00153398000000005×0.000499702358305154×40589641000000     		ar = 11526236.1877365m²