Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3040 / 5280
↖ ↑ ↗
← S 46.073231°
W 46.406250°		 ← 3 389.95 m → S 46.073231°
W 46.362305°		 →
↑
3 389.05 m
↓
↑
3 389.05 m
↓
S 46.103709°
W 46.406250°		 ← 3 388.08 m →
11 485 542 m²		 S 46.103709°
W 46.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37115478515625 y=0.64459228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37115478515625 × 213)
    floor (0.37115478515625 × 8192)
    floor (3040.5)     		tx = 3040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64459228515625 × 213)
    floor (0.64459228515625 × 8192)
    floor (5280.5)     		ty = 5280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3040 / 5280 ti = "13/3040/5280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3040/5280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3040 ÷ 213
    3040 ÷ 8192     		x = 0.37109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5280 ÷ 213
    5280 ÷ 8192     		y = 0.64453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37109375 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64453125 × 2 - 1) × π
    -0.2890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.908116626402344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80994186} λ = -0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908116626402344))-π/2
    2×atan(0.403283041874041)-π/2
    2×0.383333377684421-π/2
    0.766666755368841-1.57079632675     		φ = -0.80412957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80412957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.073231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3040 KachelY 5280 -0.80994186 -0.80412957 -46.406250 -46.073231
    Oben rechts KachelX + 1 3041 KachelY 5280 -0.80917487 -0.80412957 -46.362305 -46.073231
    Unten links KachelX 3040 KachelY + 1 5281 -0.80994186 -0.80466152 -46.406250 -46.103709
    Unten rechts KachelX + 1 3041 KachelY + 1 5281 -0.80917487 -0.80466152 -46.362305 -46.103709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80412957--0.80466152) × R
    0.000531950000000059 × 6371000     		dl = 3389.05345000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80412957--0.80466152) × R
    0.000531950000000059 × 6371000     		dr = 3389.05345000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80994186--0.80917487) × cos(-0.80412957) × R
    0.000766990000000023 × 0.693738404991914 × 6371000     		do = 3389.94806100839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80994186--0.80917487) × cos(-0.80466152) × R
    0.000766990000000023 × 0.693355182068798 × 6371000     		du = 3388.07544476601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80412957)-sin(-0.80466152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693738404991914-0.693355182068798)×R²
    abs(-0.80917487--0.80994186)×0.000383222923115878×R²
    0.000766990000000023×0.000383222923115878×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383222923115878×40589641000000     		ar = 11485542.2440568m²