Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3040 / 5344
↖ ↑ ↗
← S 47.989922°
W 46.406250°		 ← 3 270.34 m → S 47.989922°
W 46.362305°		 →
↑
3 269.41 m
↓
↑
3 269.41 m
↓
S 48.019324°
W 46.406250°		 ← 3 268.48 m →
10 689 026 m²		 S 48.019324°
W 46.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37115478515625 y=0.65240478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37115478515625 × 213)
    floor (0.37115478515625 × 8192)
    floor (3040.5)     		tx = 3040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65240478515625 × 213)
    floor (0.65240478515625 × 8192)
    floor (5344.5)     		ty = 5344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3040 / 5344 ti = "13/3040/5344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3040/5344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3040 ÷ 213
    3040 ÷ 8192     		x = 0.37109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5344 ÷ 213
    5344 ÷ 8192     		y = 0.65234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37109375 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65234375 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80994186} λ = -0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957204011613281))-π/2
    2×atan(0.383964948075839)-π/2
    2×0.366607092971331-π/2
    0.733214185942662-1.57079632675     		φ = -0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3040 KachelY 5344 -0.80994186 -0.83758214 -46.406250 -47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 3041 KachelY 5344 -0.80917487 -0.83758214 -46.362305 -47.989922
    Unten links KachelX 3040 KachelY + 1 5345 -0.80994186 -0.83809531 -46.406250 -48.019324
    Unten rechts KachelX + 1 3041 KachelY + 1 5345 -0.80917487 -0.83809531 -46.362305 -48.019324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83758214--0.83809531) × R
    0.000513170000000063 × 6371000     		dl = 3269.4060700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83758214--0.83809531) × R
    0.000513170000000063 × 6371000     		dr = 3269.4060700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80994186--0.80917487) × cos(-0.83758214) × R
    0.000766990000000023 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 3270.3409293656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80994186--0.80917487) × cos(-0.83809531) × R
    0.000766990000000023 × 0.668879928562778 × 6371000     		du = 3268.47728273779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83758214)-sin(-0.83809531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.668879928562778)×R²
    abs(-0.80917487--0.80994186)×0.000381387329769445×R²
    0.000766990000000023×0.000381387329769445×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381387329769445×40589641000000     		ar = 10689026.2112149m²