Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3040 / 7136
↖ ↑ ↗
← S 78.903929°
W 46.406250°		 ← 940.43 m → S 78.903929°
W 46.362305°		 →
↑
940.10 m
↓
↑
940.10 m
↓
S 78.912384°
W 46.406250°		 ← 939.72 m →
883 769 m²		 S 78.912384°
W 46.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37115478515625 y=0.87115478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37115478515625 × 213)
    floor (0.37115478515625 × 8192)
    floor (3040.5)     		tx = 3040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87115478515625 × 213)
    floor (0.87115478515625 × 8192)
    floor (7136.5)     		ty = 7136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3040 / 7136 ti = "13/3040/7136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3040/7136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3040 ÷ 213
    3040 ÷ 8192     		x = 0.37109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7136 ÷ 213
    7136 ÷ 8192     		y = 0.87109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37109375 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87109375 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80994186} λ = -0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.33165079751953))-π/2
    2×atan(0.0971352640105556)-π/2
    2×0.096831483108022-π/2
    0.193662966216044-1.57079632675     		φ = -1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3040 KachelY 7136 -0.80994186 -1.37713336 -46.406250 -78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 3041 KachelY 7136 -0.80917487 -1.37713336 -46.362305 -78.903929
    Unten links KachelX 3040 KachelY + 1 7137 -0.80994186 -1.37728092 -46.406250 -78.912384
    Unten rechts KachelX + 1 3041 KachelY + 1 7137 -0.80917487 -1.37728092 -46.362305 -78.912384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37713336--1.37728092) × R
    0.000147560000000047 × 6371000     		dl = 940.104760000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37713336--1.37728092) × R
    0.000147560000000047 × 6371000     		dr = 940.104760000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80994186--0.80917487) × cos(-1.37713336) × R
    0.000766990000000023 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 940.428447960584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80994186--0.80917487) × cos(-1.37728092) × R
    0.000766990000000023 × 0.192309865261007 × 6371000     		du = 939.720866198745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37713336)-sin(-1.37728092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.192309865261007)×R²
    abs(-0.80917487--0.80994186)×0.000144803588145032×R²
    0.000766990000000023×0.000144803588145032×6371000²
    0.000766990000000023×0.000144803588145032×40589641000000     		ar = 883768.661478931m²