Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3056 / 5104
↖ ↑ ↗
← S 40.446947°
W 45.703125°		 ← 3 718.66 m → S 40.446947°
W 45.659180°		 →
↑
3 717.73 m
↓
↑
3 717.73 m
↓
S 40.480382°
W 45.703125°		 ← 3 716.81 m →
13 821 530 m²		 S 40.480382°
W 45.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37310791015625 y=0.62310791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37310791015625 × 213)
    floor (0.37310791015625 × 8192)
    floor (3056.5)     		tx = 3056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62310791015625 × 213)
    floor (0.62310791015625 × 8192)
    floor (5104.5)     		ty = 5104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3056 / 5104 ti = "13/3056/5104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3056/5104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3056 ÷ 213
    3056 ÷ 8192     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5104 ÷ 213
    5104 ÷ 8192     		y = 0.623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623046875 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.773126317072266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773126317072266))-π/2
    2×atan(0.461567803007033)-π/2
    2×0.432431964120923-π/2
    0.864863928241845-1.57079632675     		φ = -0.70593240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70593240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.446947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3056 KachelY 5104 -0.79767001 -0.70593240 -45.703125 -40.446947
    Oben rechts KachelX + 1 3057 KachelY 5104 -0.79690302 -0.70593240 -45.659180 -40.446947
    Unten links KachelX 3056 KachelY + 1 5105 -0.79767001 -0.70651594 -45.703125 -40.480382
    Unten rechts KachelX + 1 3057 KachelY + 1 5105 -0.79690302 -0.70651594 -45.659180 -40.480382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70593240--0.70651594) × R
    0.000583539999999938 × 6371000     		dl = 3717.73333999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70593240--0.70651594) × R
    0.000583539999999938 × 6371000     		dr = 3717.73333999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.79690302) × cos(-0.70593240) × R
    0.000766990000000023 × 0.76100699404595 × 6371000     		do = 3718.65557004872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.79690302) × cos(-0.70651594) × R
    0.000766990000000023 × 0.760628296615062 × 6371000     		du = 3716.80506759374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70593240)-sin(-0.70651594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76100699404595-0.760628296615062)×R²
    abs(-0.79690302--0.79767001)×0.000378697430887587×R²
    0.000766990000000023×0.000378697430887587×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378697430887587×40589641000000     		ar = 13821530.3476185m²