Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3064 / 3096
↖ ↑ ↗
← S 67.339861°
E 89.296875°		 ← 3 765.18 m → S 67.339861°
E 89.384766°		 →
↑
3 762.52 m
↓
↑
3 762.52 m
↓
S 67.373698°
E 89.296875°		 ← 3 759.85 m →
14 156 555 m²		 S 67.373698°
E 89.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7481689453125 y=0.7559814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7481689453125 × 212)
    floor (0.7481689453125 × 4096)
    floor (3064.5)     		tx = 3064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7559814453125 × 212)
    floor (0.7559814453125 × 4096)
    floor (3096.5)     		ty = 3096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3064 / 3096 ti = "12/3064/3096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3064/3096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3064 ÷ 212
    3064 ÷ 4096     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3096 ÷ 212
    3096 ÷ 4096     		y = 0.755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755859375 × 2 - 1) × π
    -0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6076118656582))-π/2
    2×atan(0.200365543002917)-π/2
    2×0.197747018785645-π/2
    0.39549403757129-1.57079632675     		φ = -1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3064 KachelY 3096 1.55852448 -1.17530229 89.296875 -67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 3065 KachelY 3096 1.56005846 -1.17530229 89.384766 -67.339861
    Unten links KachelX 3064 KachelY + 1 3097 1.55852448 -1.17589286 89.296875 -67.373698
    Unten rechts KachelX + 1 3065 KachelY + 1 3097 1.56005846 -1.17589286 89.384766 -67.373698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17530229--1.17589286) × R
    0.000590569999999957 × 6371000     		dl = 3762.52146999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17530229--1.17589286) × R
    0.000590569999999957 × 6371000     		dr = 3762.52146999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.56005846) × cos(-1.17530229) × R
    0.00153398000000005 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 3765.18123179752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.56005846) × cos(-1.17589286) × R
    0.00153398000000005 × 0.384719087198778 × 6371000     		du = 3759.85447626362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17530229)-sin(-1.17589286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.384719087198778)×R²
    abs(1.56005846-1.55852448)×0.000545048894757094×R²
    0.00153398000000005×0.000545048894757094×6371000²
    0.00153398000000005×0.000545048894757094×40589641000000     		ar = 14156554.618495m²