Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3065 / 5111
↖ ↑ ↗
← S 40.680638°
W 45.307617°		 ← 3 705.69 m → S 40.680638°
W 45.263672°		 →
↑
3 704.74 m
↓
↑
3 704.74 m
↓
S 40.713956°
W 45.307617°		 ← 3 703.84 m →
13 725 192 m²		 S 40.713956°
W 45.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37420654296875 y=0.62396240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37420654296875 × 213)
    floor (0.37420654296875 × 8192)
    floor (3065.5)     		tx = 3065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62396240234375 × 213)
    floor (0.62396240234375 × 8192)
    floor (5111.5)     		ty = 5111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3065 / 5111 ti = "13/3065/5111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3065/5111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3065 ÷ 213
    3065 ÷ 8192     		x = 0.3741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5111 ÷ 213
    5111 ÷ 8192     		y = 0.6239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79076710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.778495249829712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79076710} λ = -0.79076710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778495249829712))-π/2
    2×atan(0.459096317067399)-π/2
    2×0.430392625729886-π/2
    0.860785251459772-1.57079632675     		φ = -0.71001108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79076710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71001108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.680638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3065 KachelY 5111 -0.79076710 -0.71001108 -45.307617 -40.680638
    Oben rechts KachelX + 1 3066 KachelY 5111 -0.79000011 -0.71001108 -45.263672 -40.680638
    Unten links KachelX 3065 KachelY + 1 5112 -0.79076710 -0.71059258 -45.307617 -40.713956
    Unten rechts KachelX + 1 3066 KachelY + 1 5112 -0.79000011 -0.71059258 -45.263672 -40.713956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71001108--0.71059258) × R
    0.000581500000000013 × 6371000     		dl = 3704.73650000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71001108--0.71059258) × R
    0.000581500000000013 × 6371000     		dr = 3704.73650000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79076710--0.79000011) × cos(-0.71001108) × R
    0.000766989999999912 × 0.758354653625775 × 6371000     		do = 3705.6949263822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79076710--0.79000011) × cos(-0.71059258) × R
    0.000766989999999912 × 0.757975479207299 × 6371000     		du = 3703.84209313058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71001108)-sin(-0.71059258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758354653625775-0.757975479207299)×R²
    abs(-0.79000011--0.79076710)×0.000379174418475348×R²
    0.000766989999999912×0.000379174418475348×6371000²
    0.000766989999999912×0.000379174418475348×40589641000000     		ar = 13725191.5088999m²