Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3065 / 5145
↖ ↑ ↗
← S 41.804078°
W 45.307617°		 ← 3 642.53 m → S 41.804078°
W 45.263672°		 →
↑
3 641.60 m
↓
↑
3 641.60 m
↓
S 41.836828°
W 45.307617°		 ← 3 640.67 m →
13 261 252 m²		 S 41.836828°
W 45.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37420654296875 y=0.62811279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37420654296875 × 213)
    floor (0.37420654296875 × 8192)
    floor (3065.5)     		tx = 3065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62811279296875 × 213)
    floor (0.62811279296875 × 8192)
    floor (5145.5)     		ty = 5145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3065 / 5145 ti = "13/3065/5145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3065/5145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3065 ÷ 213
    3065 ÷ 8192     		x = 0.3741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5145 ÷ 213
    5145 ÷ 8192     		y = 0.6280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79076710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.804572923223022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79076710} λ = -0.79076710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804572923223022))-π/2
    2×atan(0.447278908209068)-π/2
    2×0.420588761216743-π/2
    0.841177522433485-1.57079632675     		φ = -0.72961880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79076710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72961880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.804078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3065 KachelY 5145 -0.79076710 -0.72961880 -45.307617 -41.804078
    Oben rechts KachelX + 1 3066 KachelY 5145 -0.79000011 -0.72961880 -45.263672 -41.804078
    Unten links KachelX 3065 KachelY + 1 5146 -0.79076710 -0.73019039 -45.307617 -41.836828
    Unten rechts KachelX + 1 3066 KachelY + 1 5146 -0.79000011 -0.73019039 -45.263672 -41.836828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72961880--0.73019039) × R
    0.000571589999999955 × 6371000     		dl = 3641.59988999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72961880--0.73019039) × R
    0.000571589999999955 × 6371000     		dr = 3641.59988999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79076710--0.79000011) × cos(-0.72961880) × R
    0.000766989999999912 × 0.74542855890165 × 6371000     		do = 3642.53165124686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79076710--0.79000011) × cos(-0.73019039) × R
    0.000766989999999912 × 0.745047423530157 × 6371000     		du = 3640.66923581148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72961880)-sin(-0.73019039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74542855890165-0.745047423530157)×R²
    abs(-0.79000011--0.79076710)×0.000381135371492758×R²
    0.000766989999999912×0.000381135371492758×6371000²
    0.000766989999999912×0.000381135371492758×40589641000000     		ar = 13261252.1356351m²