Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3068 / 1020
↖ ↑ ↗
← N 66.652977°
E 89.648437°		 ← 3 873.03 m → N 66.652977°
E 89.736328°		 →
↑
3 875.73 m
↓
↑
3 875.73 m
↓
N 66.618122°
E 89.648437°		 ← 3 878.48 m →
15 021 397 m²		 N 66.618122°
E 89.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7491455078125 y=0.2491455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7491455078125 × 212)
    floor (0.7491455078125 × 4096)
    floor (3068.5)     		tx = 3068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2491455078125 × 212)
    floor (0.2491455078125 × 4096)
    floor (1020.5)     		ty = 1020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3068 / 1020 ti = "12/3068/1020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3068/1020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3068 ÷ 212
    3068 ÷ 4096     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1020 ÷ 212
    1020 ÷ 4096     		y = 0.2490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2490234375 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57693224990137))-π/2
    2×atan(4.84008484194008)-π/2
    2×1.36705511933703-π/2
    2.73411023867405-1.57079632675     		φ = 1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3068 KachelY 1020 1.56466040 1.16331391 89.648437 66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 3069 KachelY 1020 1.56619438 1.16331391 89.736328 66.652977
    Unten links KachelX 3068 KachelY + 1 1021 1.56466040 1.16270557 89.648437 66.618122
    Unten rechts KachelX + 1 3069 KachelY + 1 1021 1.56619438 1.16270557 89.736328 66.618122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16331391-1.16270557) × R
    0.000608340000000096 × 6371000     		dl = 3875.73414000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16331391-1.16270557) × R
    0.000608340000000096 × 6371000     		dr = 3875.73414000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.56619438) × cos(1.16331391) × R
    0.00153398000000005 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 3873.02616912353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.56619438) × cos(1.16270557) × R
    0.00153398000000005 × 0.396857595841942 × 6371000     		du = 3878.48395833448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16331391)-sin(1.16270557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.396857595841942)×R²
    abs(1.56619438-1.56466040)×0.000558456636184812×R²
    0.00153398000000005×0.000558456636184812×6371000²
    0.00153398000000005×0.000558456636184812×40589641000000     		ar = 15021396.6820272m²