Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3068 / 1036
↖ ↑ ↗
← N 66.089364°
E 89.648437°		 ← 3 961.10 m → N 66.089364°
E 89.736328°		 →
↑
3 963.91 m
↓
↑
3 963.91 m
↓
N 66.053716°
E 89.648437°		 ← 3 966.66 m →
15 712 462 m²		 N 66.053716°
E 89.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7491455078125 y=0.2530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7491455078125 × 212)
    floor (0.7491455078125 × 4096)
    floor (3068.5)     		tx = 3068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2530517578125 × 212)
    floor (0.2530517578125 × 4096)
    floor (1036.5)     		ty = 1036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3068 / 1036 ti = "12/3068/1036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3068/1036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3068 ÷ 212
    3068 ÷ 4096     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1036 ÷ 212
    1036 ÷ 4096     		y = 0.2529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2529296875 × 2 - 1) × π
    0.494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5523885572959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5523885572959))-π/2
    2×atan(4.72273724973074)-π/2
    2×1.36213666692326-π/2
    2.72427333384653-1.57079632675     		φ = 1.15347701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15347701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.089364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3068 KachelY 1036 1.56466040 1.15347701 89.648437 66.089364
    Oben rechts KachelX + 1 3069 KachelY 1036 1.56619438 1.15347701 89.736328 66.089364
    Unten links KachelX 3068 KachelY + 1 1037 1.56466040 1.15285483 89.648437 66.053716
    Unten rechts KachelX + 1 3069 KachelY + 1 1037 1.56619438 1.15285483 89.736328 66.053716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15347701-1.15285483) × R
    0.000622179999999917 × 6371000     		dl = 3963.90877999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15347701-1.15285483) × R
    0.000622179999999917 × 6371000     		dr = 3963.90877999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.56619438) × cos(1.15347701) × R
    0.00153398000000005 × 0.405311288708903 × 6371000     		do = 3961.10178527473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.56619438) × cos(1.15285483) × R
    0.00153398000000005 × 0.405879993947844 × 6371000     		du = 3966.65973394288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15347701)-sin(1.15285483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405311288708903-0.405879993947844)×R²
    abs(1.56619438-1.56466040)×0.000568705238940814×R²
    0.00153398000000005×0.000568705238940814×6371000²
    0.00153398000000005×0.000568705238940814×40589641000000     		ar = 15712462.2527534m²