Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3068 / 5117
↖ ↑ ↗
← S 40.880295°
W 45.175781°		 ← 3 694.57 m → S 40.880295°
W 45.131836°		 →
↑
3 693.65 m
↓
↑
3 693.65 m
↓
S 40.913512°
W 45.175781°		 ← 3 692.72 m →
13 643 038 m²		 S 40.913512°
W 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37457275390625 y=0.62469482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37457275390625 × 213)
    floor (0.37457275390625 × 8192)
    floor (3068.5)     		tx = 3068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62469482421875 × 213)
    floor (0.62469482421875 × 8192)
    floor (5117.5)     		ty = 5117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3068 / 5117 ti = "13/3068/5117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3068/5117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3068 ÷ 213
    3068 ÷ 8192     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5117 ÷ 213
    5117 ÷ 8192     		y = 0.6246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.783097192193237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783097192193237))-π/2
    2×atan(0.456988436170182)-π/2
    2×0.428650291634708-π/2
    0.857300583269417-1.57079632675     		φ = -0.71349574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71349574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.880295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3068 KachelY 5117 -0.78846612 -0.71349574 -45.175781 -40.880295
    Oben rechts KachelX + 1 3069 KachelY 5117 -0.78769913 -0.71349574 -45.131836 -40.880295
    Unten links KachelX 3068 KachelY + 1 5118 -0.78846612 -0.71407550 -45.175781 -40.913512
    Unten rechts KachelX + 1 3069 KachelY + 1 5118 -0.78769913 -0.71407550 -45.131836 -40.913512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71349574--0.71407550) × R
    0.000579759999999929 × 6371000     		dl = 3693.65095999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71349574--0.71407550) × R
    0.000579759999999929 × 6371000     		dr = 3693.65095999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78769913) × cos(-0.71349574) × R
    0.000766990000000023 × 0.756078605583225 × 6371000     		do = 3694.5730328951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78769913) × cos(-0.71407550) × R
    0.000766990000000023 × 0.75569903673778 × 6371000     		du = 3692.71827227873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71349574)-sin(-0.71407550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756078605583225-0.75569903673778)×R²
    abs(-0.78769913--0.78846612)×0.000379568845445544×R²
    0.000766990000000023×0.000379568845445544×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379568845445544×40589641000000     		ar = 13643038.192718m²