Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3070 / 5114
↖ ↑ ↗
← S 40.780542°
W 45.087890°		 ← 3 700.14 m → S 40.780542°
W 45.043945°		 →
↑
3 699.19 m
↓
↑
3 699.19 m
↓
S 40.813809°
W 45.087890°		 ← 3 698.28 m →
13 684 089 m²		 S 40.813809°
W 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37481689453125 y=0.62432861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37481689453125 × 213)
    floor (0.37481689453125 × 8192)
    floor (3070.5)     		tx = 3070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62432861328125 × 213)
    floor (0.62432861328125 × 8192)
    floor (5114.5)     		ty = 5114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3070 / 5114 ti = "13/3070/5114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3070/5114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3070 ÷ 213
    3070 ÷ 8192     		x = 0.374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5114 ÷ 213
    5114 ÷ 8192     		y = 0.624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.780796221011475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78693214} λ = -0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780796221011475))-π/2
    2×atan(0.458041164076026)-π/2
    2×0.429520804039935-π/2
    0.85904160807987-1.57079632675     		φ = -0.71175472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71175472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.780542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3070 KachelY 5114 -0.78693214 -0.71175472 -45.087890 -40.780542
    Oben rechts KachelX + 1 3071 KachelY 5114 -0.78616515 -0.71175472 -45.043945 -40.780542
    Unten links KachelX 3070 KachelY + 1 5115 -0.78693214 -0.71233535 -45.087890 -40.813809
    Unten rechts KachelX + 1 3071 KachelY + 1 5115 -0.78616515 -0.71233535 -45.043945 -40.813809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71175472--0.71233535) × R
    0.000580630000000082 × 6371000     		dl = 3699.19373000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71175472--0.71233535) × R
    0.000580630000000082 × 6371000     		dr = 3699.19373000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78693214--0.78616515) × cos(-0.71175472) × R
    0.000766990000000023 × 0.757216923308942 × 6371000     		do = 3700.1354148237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78693214--0.78616515) × cos(-0.71233535) × R
    0.000766990000000023 × 0.756837549378384 × 6371000     		du = 3698.28160665763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71175472)-sin(-0.71233535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757216923308942-0.756837549378384)×R²
    abs(-0.78616515--0.78693214)×0.000379373930558424×R²
    0.000766990000000023×0.000379373930558424×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379373930558424×40589641000000     		ar = 13684089.3133425m²