Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3070 / 5126
↖ ↑ ↗
← S 41.178654°
W 45.087890°		 ← 3 677.87 m → S 41.178654°
W 45.043945°		 →
↑
3 676.96 m
↓
↑
3 676.96 m
↓
S 41.211721°
W 45.087890°		 ← 3 676.01 m →
13 519 960 m²		 S 41.211721°
W 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37481689453125 y=0.62579345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37481689453125 × 213)
    floor (0.37481689453125 × 8192)
    floor (3070.5)     		tx = 3070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62579345703125 × 213)
    floor (0.62579345703125 × 8192)
    floor (5126.5)     		ty = 5126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3070 / 5126 ti = "13/3070/5126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3070/5126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3070 ÷ 213
    3070 ÷ 8192     		x = 0.374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5126 ÷ 213
    5126 ÷ 8192     		y = 0.625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.790000105738525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78693214} λ = -0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790000105738525))-π/2
    2×atan(0.453844747293479)-π/2
    2×0.426046616727631-π/2
    0.852093233455262-1.57079632675     		φ = -0.71870309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71870309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.178654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3070 KachelY 5126 -0.78693214 -0.71870309 -45.087890 -41.178654
    Oben rechts KachelX + 1 3071 KachelY 5126 -0.78616515 -0.71870309 -45.043945 -41.178654
    Unten links KachelX 3070 KachelY + 1 5127 -0.78693214 -0.71928023 -45.087890 -41.211721
    Unten rechts KachelX + 1 3071 KachelY + 1 5127 -0.78616515 -0.71928023 -45.043945 -41.211721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71870309--0.71928023) × R
    0.000577139999999976 × 6371000     		dl = 3676.95893999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71870309--0.71928023) × R
    0.000577139999999976 × 6371000     		dr = 3676.95893999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78693214--0.78616515) × cos(-0.71870309) × R
    0.000766990000000023 × 0.752660259216756 × 6371000     		do = 3677.86930631245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78693214--0.78616515) × cos(-0.71928023) × R
    0.000766990000000023 × 0.752280139661703 × 6371000     		du = 3676.01185465728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71870309)-sin(-0.71928023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752660259216756-0.752280139661703)×R²
    abs(-0.78616515--0.78693214)×0.000380119555053571×R²
    0.000766990000000023×0.000380119555053571×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380119555053571×40589641000000     		ar = 13519959.9145434m²