Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3072 / 5119
↖ ↑ ↗
← S 40.946714°
W 45.000000°		 ← 3 690.86 m → S 40.946714°
W 44.956055°		 →
↑
3 689.96 m
↓
↑
3 689.96 m
↓
S 40.979898°
W 45.000000°		 ← 3 689.01 m →
13 615 699 m²		 S 40.979898°
W 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37506103515625 y=0.62493896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37506103515625 × 213)
    floor (0.37506103515625 × 8192)
    floor (3072.5)     		tx = 3072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62493896484375 × 213)
    floor (0.62493896484375 × 8192)
    floor (5119.5)     		ty = 5119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3072 / 5119 ti = "13/3072/5119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3072/5119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3072 ÷ 213
    3072 ÷ 8192     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5119 ÷ 213
    5119 ÷ 8192     		y = 0.6248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.249755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.784631172981079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784631172981079))-π/2
    2×atan(0.456287962083084)-π/2
    2×0.428070677742417-π/2
    0.856141355484835-1.57079632675     		φ = -0.71465497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71465497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.946714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3072 KachelY 5119 -0.78539816 -0.71465497 -45.000000 -40.946714
    Oben rechts KachelX + 1 3073 KachelY 5119 -0.78463117 -0.71465497 -44.956055 -40.946714
    Unten links KachelX 3072 KachelY + 1 5120 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 3073 KachelY + 1 5120 -0.78463117 -0.71523415 -44.956055 -40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71465497--0.71523415) × R
    0.000579180000000012 × 6371000     		dl = 3689.95578000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71465497--0.71523415) × R
    0.000579180000000012 × 6371000     		dr = 3689.95578000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.78463117) × cos(-0.71465497) × R
    0.000766989999999912 × 0.755319403939046 × 6371000     		do = 3690.86319915452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.78463117) × cos(-0.71523415) × R
    0.000766989999999912 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 3689.00781600762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71465497)-sin(-0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755319403939046-0.754939707695381)×R²
    abs(-0.78463117--0.78539816)×0.000379696243665073×R²
    0.000766989999999912×0.000379696243665073×6371000²
    0.000766989999999912×0.000379696243665073×40589641000000     		ar = 13615699.2346416m²