Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3072 / 5121
↖ ↑ ↗
← S 41.013066°
W 45.000000°		 ← 3 687.15 m → S 41.013066°
W 44.956055°		 →
↑
3 686.26 m
↓
↑
3 686.26 m
↓
S 41.046217°
W 45.000000°		 ← 3 685.30 m →
13 588 383 m²		 S 41.046217°
W 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37506103515625 y=0.62518310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37506103515625 × 213)
    floor (0.37506103515625 × 8192)
    floor (3072.5)     		tx = 3072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62518310546875 × 213)
    floor (0.62518310546875 × 8192)
    floor (5121.5)     		ty = 5121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3072 / 5121 ti = "13/3072/5121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3072/5121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3072 ÷ 213
    3072 ÷ 8192     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5121 ÷ 213
    5121 ÷ 8192     		y = 0.6251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786165153768921))-π/2
    2×atan(0.455588561686058)-π/2
    2×0.427491646245776-π/2
    0.854983292491552-1.57079632675     		φ = -0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3072 KachelY 5121 -0.78539816 -0.71581303 -45.000000 -41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 3073 KachelY 5121 -0.78463117 -0.71581303 -44.956055 -41.013066
    Unten links KachelX 3072 KachelY + 1 5122 -0.78539816 -0.71639163 -45.000000 -41.046217
    Unten rechts KachelX + 1 3073 KachelY + 1 5122 -0.78463117 -0.71639163 -44.956055 -41.046217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71581303--0.71639163) × R
    0.000578599999999985 × 6371000     		dl = 3686.2605999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71581303--0.71639163) × R
    0.000578599999999985 × 6371000     		dr = 3686.2605999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.78463117) × cos(-0.71581303) × R
    0.000766989999999912 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 3687.15215738586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.78463117) × cos(-0.71639163) × R
    0.000766989999999912 × 0.754180133470919 × 6371000     		du = 3685.29616165653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71581303)-sin(-0.71639163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.754180133470919)×R²
    abs(-0.78463117--0.78539816)×0.000379821606045438×R²
    0.000766989999999912×0.000379821606045438×6371000²
    0.000766989999999912×0.000379821606045438×40589641000000     		ar = 13588383.2611033m²